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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖所示,AB是⊙O的直徑,點C是弧AB的中點,點D是弧BC的中點,連接AC,BC,ADBD,且ADBC相交于點F,延長ACE,使ACEC,連接EBAD的延長線于點G

          1)求證:EB是⊙O的切線;

          2)求證;AF2BD;

          3)求證:線段BG是線段CF和線段EG的比例中項.

          【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)詳見解析

          【解析】

          1)由“SAS”可證ABC≌△EBC,可得∠ABC=EBC=45°,可得∠EBA=90°,即可得結論;

          2)延長BDAE于點M,由“ASA”可證ADB≌△ADMACF≌△BCM,可得BD=DM,AF=BM=2BD

          3)過點FFNAB,過點GGKAE,由等腰三角形的性質和直角三角形的性質可得BFCFEGKGBGBF,即可得結論.

          證明:(1∵AB⊙O 的直徑,

          ∴∠ACB90°

          C是弧AB的中點,

          ∴∠ABC45°

          ∵ACEC,∠ACB∠ECB90°,BCBC

          ∴△ABC≌△EBCSAS

          ∴∠ABC∠EBC45°

          ∴∠EBA90°,且AB⊙O 的直徑

          ∴EB⊙O的切線.

          2)如圖,延長BDAE于點M

          ∵AB⊙O 的直徑

          ∴∠ACB90°,∠ADB90°

          D是弧BC的中點

          ∴∠MAD∠BAD∠BAC22.5°,且∠ADB∠ADM90°,ADAD

          ∴△ADB≌△ADMASA

          ∴BDDM

          ∴BM2BD

          C是弧AB的中點

          ∴ACBC∠ACF∠BCM90°,∠CBD∠CAD

          ∴△ACF≌△BCMAAS

          ∴AFBM

          ∴AF2BD

          3)如圖,過點FFN⊥AB,過點GGK⊥AE,垂足分別為NK,

          由(2)可知∠CAD∠BAD22.5°,∠ABC∠E45°,

          ∴∠BFD∠BAF+∠ABF22.5°+45°67.5°∠BGF∠CAD+∠E22.5°+45°67.5°,

          ∴∠BFD∠BGF,

          ∴BFBG

          ∵∠CAF∠NAF,FC⊥AEFN⊥AB,

          ∴NFCF

          ∵∠ABC45°∠FNB90°,

          ∴NFBNCF,

          同理,

          ,

          ,

          ∴BF是線段CF和線段EG的比例中項.

          即線段BG是線段CF和線段EG的比例中項.

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          2)該超市準備花費不超過1600元的資金,購進AB兩種水杯共120個,其中B種水杯的數量不多于A種水杯數量的兩倍.請為該超市設計獲利最大的進貨方案,并求出最大利潤.

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