Question

實(shí)踐探究題：
（1）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，一個(gè)直角邊為4等腰直角三角形板ABC的直角頂點(diǎn)B放至點(diǎn)O的位置，點(diǎn)A、C分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△AKL的位置，求直線AL的解析式；
（2）如圖2，將任意兩個(gè)等腰直角三角板△ABC和△MNP放至直角坐標(biāo)系中，直角頂點(diǎn)B、N分別在y軸的正半軸和負(fù)半軸上，頂點(diǎn)M、A都在x軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C、P分別在第二象限和第三象限，AC和MP的中點(diǎn)分別為E、F，請(qǐng)判斷△OEF的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，將第（1）問(wèn)中的等腰直角三角形板ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°至△OMN的位置．G為線段OC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，作GH⊥AG交x軸于H，并交直線MN于Q．請(qǐng)?zhí)骄肯旅鎯蓚�(gè)結(jié)論：①

GN+GC

NQ

為定值；②

GN-GC

NQ

為定值．其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)判斷正確的結(jié)論，并求出其值．

Answer 1

分析：（1）求得A、L的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（2）過(guò)E作EG⊥x軸于G，過(guò)E作EH⊥y軸于H，易證△AEG≌△EBH，則EG=EH，即E到∠BOA的兩邊距離相等，則E在∠BOA的平分線上，同理F在∠AON的平分線上，據(jù)此即可證得∠EOF=90°，從而判斷；
（3）過(guò)Q作EQ⊥NQ交y軸于E，延長(zhǎng)AC交EQ于F，連GF，證明△AGC≌△QGF，即可求得．

解答：解：（1）A的坐標(biāo)是：（-4，0），L的坐標(biāo)是（-8，4），設(shè)直線AL的解析式是：y=kx+b，
則

-4k+b=0 -8k+b=4

，
解得：

k=-1 b=-4

，
則直線AL的解析式為：y=-x-4；

（2）△OEF是直角三角形．
證明：連BE，則BE⊥AC，且BE=AE． 
過(guò)E作EG⊥x軸于G，過(guò)E作EH⊥y軸于H．
則△AEG≌△EBH，
∴EG=EH 
∴OE平分∠BOA，
同理OF平分∠AON，
∴∠EOF=90°即△OEF是直角三角形；

（3）結(jié)論①正確．
過(guò)Q作EQ⊥NQ交y軸于E，延長(zhǎng)AC交EQ于F，連GF，AC=CM=QF．
∴過(guò)G分別作GL⊥NA，GJ⊥NQ，
∵G是∠ANM的角平分線NC上一點(diǎn)，
∴GL=GJ，
同（1）可得：△AGL≌△QGJ，
∴GA=GQ，
∵∠ANQ=90°，GL⊥NA，GJ⊥NQ，
∴∠LGJ=90°，
又∵∠AGH=90°，
∴∠GAC=∠FQG，
∴在△AGC和△QGF中，

GA=GQ ∠GAC=∠FQG AC=FQ

，
∴△AGC≌△QGF，
∴GC=GF=GE，
GN+GC=GN+GE=NE=

2

NQ．
∴

GN+GC

NQ

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及三角形的全等的判定與性質(zhì)，正確證明△AGC≌△QGF是關(guān)鍵．