Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形W在坐標(biāo)軸上的投影長(zhǎng)度定義如下：設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）是圖形W上的任意兩點(diǎn)．若|x1﹣x2|的最大值為m，則圖形W在x軸上的投影長(zhǎng)度lx=M；若|y1﹣y2|的最大值為n，則圖形W在y軸上的投影長(zhǎng)度ly=n．如圖1，圖形W在x軸上的投影長(zhǎng)度lx=|3﹣1|=2；在y軸上的投影長(zhǎng)度ly=|4﹣0|=4．

（1）已知點(diǎn)A（3，3），B（4，1）．如圖2所示，若圖形W為△OAB，則lx　 　，ly　 　．

（2）已知點(diǎn)C（4，0），點(diǎn)D在直線(xiàn)y=2x+6上，若圖形W為△OCD．當(dāng)lx=ly時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）若圖形W為函數(shù)y=x2（a≤x≤b）的圖象，其中0≤a＜b．當(dāng)該圖形滿(mǎn)足lx=ly≤1時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；3；（2）（﹣，）或（﹣10，﹣14）；（3）0≤a＜．

【解析】

（1）確定出點(diǎn)A在y軸的投影的坐標(biāo)、點(diǎn)B在x軸上投影的坐標(biāo)，于是可求得問(wèn)題的答案；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為P．設(shè)D（x，2x+6），則PD=2x+6．PC=4-x，然后依據(jù)lx=ly，列方程求解即可；
（3）設(shè)A（a，a2）、B（b，b2）．分別求得圖形在y軸和x軸上的投影，由lx=ly可得到b+a=1，然后根據(jù)0≤a＜b可求得a的取值范圍．

解：（1）∵A（3，3），

∴點(diǎn)A在y軸上的正投影的坐標(biāo)為（0，3）．

∴△OAB在y軸上的投影長(zhǎng)度ly=3．

∵B（4，1），

∴點(diǎn)B在x軸上的正投影的坐標(biāo)為（4，0）．

∴△OAB在x軸上的投影長(zhǎng)度lx=4．

故答案為：4；3．

（2）如圖1所示；過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為P．

設(shè)D（x，2x+6），則PD=2x+6．

∵PD⊥x軸，

∴P（x，0）．

∴PC=4﹣x．

∵lx=ly，

∴2x+6=4﹣x，解得；x=﹣．

∴D（﹣，）．

如圖2所示：過(guò)點(diǎn)D作DP⊥x軸，垂足為P．

設(shè)D（x，2x+6），則PD=﹣2x﹣6．

∵PD⊥x軸，

∴P（x，0）．

∴PC=4﹣x．

∵lx=ly，

∴﹣2x﹣6=4﹣x，解得；x=﹣10．

∴D（﹣10，﹣14）．

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣10，﹣14）．

（3）如圖3所示：

設(shè)A（a，a2）、B（b，b2）．則CE=b﹣a，DF=b2﹣a2=（b+a）（b﹣a）．

∵lx=ly，

∴（b+a）（b﹣a）=b﹣a，即（b+a﹣1）（b﹣a）=0．

∵b≠a，

∴b+a=1．

又∵0≤a＜b，

∴a+a＜1，

∴0≤a＜．