Question

【題目】在正方形中，連接，為射線上的一個動點（與點不重合），連接，的垂直平分線交線段于點，連接，.

提出問題：當點運動時，的度數(shù)是否發(fā)生改變？

探究問題：

（1）首先考察點的兩個特殊位置：

①當點與點重合時，如圖1所示，____________

②當時，如圖2所示，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？直接寫出你的結(jié)論：__________；（填“變化”或“不變化”）

（2）然后考察點的一般位置：依題意補全圖3，圖4，通過觀察、測量，發(fā)現(xiàn)：（1）中①的結(jié)論在一般情況下_________；（填“成立”或“不成立”）

（3）證明猜想：若（1）中①的結(jié)論在一般情況下成立，請從圖3和圖4中任選一個進行證明；若不成立，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①45；②不變化；（2）成立；（3）詳見解析.

【解析】

（1）①②根據(jù)正方形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)即可判斷；

（2）畫出圖形即可判斷，結(jié)論仍然成立；

（3）如圖2-1中或2-2中，作作EF⊥BC，EG⊥AB，證 得∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.繼而得∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.從而得出∠APE=∠EAP=45°.

解（1）①當點P與點B重合時，如圖1-1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠APE=45°

②當BP=BC時，如圖1-2所示，①中的結(jié)論不發(fā)生變化；

故答案為：45°，不變化.

(2) （2）如圖2-1，如圖2-2中，結(jié)論仍然成立；

故答案為：成立；

(3)證明一：如圖所示.

過點作于點，于點.

∵點在的垂直平分線上，

∴.

∵四邊形為正方形，

∴平分.

∴.

∴.

∴.

∵，

∴.

∴.

∴.

證明二：如圖所示.

過點作于點，延長交于點，連接.

∵點在的垂直平分線上，

∴.

∵四邊形為正方形，

∴，

∴.

∴，.

∴.

又∵，

∴.

又∵，

∴.

∴.