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        1. (2012•牡丹江)如圖①,△ABC中.AB=AC,P為底邊BC上一點(diǎn),PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分別為E、F、H.易證PE+PF=CH.證明過程如下:
          如圖①,連接AP.
          ∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
          ∴S△ABP=
          1
          2
          AB•PE,S△ACP=
          1
          2
          AC•PF,S△ABC=
          1
          2
          AB•CH.
          又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC
          1
          2
          AB•PE+
          1
          2
          AC•PF=
          1
          2
          AB•CH.
          ∵AB=AC,
          ∴PE+PF=CH.
          (1)如圖②,P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí),其它條件不變,PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,并加以證明:
          (2)填空:若∠A=30°,△ABC的面積為49,點(diǎn)P在直線BC上,且P到直線AC的距離為PF,當(dāng)PF=3時(shí),則AB邊上的高CH=
          7
          7
          .點(diǎn)P到AB邊的距離PE=
          4或10
          4或10
          分析:(1)連接AP.先根據(jù)三角形的面積公式分別表示出S△ABP,S△ACP,S△ABC,再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH;
          (2)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AC=2CH,再由△ABC的面積為49,求出CH=7,由于CH>PF,則可分兩種情況進(jìn)行討論:①P為底邊BC上一點(diǎn),運(yùn)用結(jié)論P(yáng)E+PF=CH;②P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí),運(yùn)用結(jié)論P(yáng)E=PF+CH.
          解答:解:(1)如圖②,PE=PF+CH.證明如下:
          ∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
          ∴S△ABP=
          1
          2
          AB•PE,S△ACP=
          1
          2
          AC•PF,S△ABC=
          1
          2
          AB•CH,
          ∵S△ABP=S△ACP+S△ABC,
          1
          2
          AB•PE=
          1
          2
          AC•PF+
          1
          2
          AB•CH,
          又∵AB=AC,
          ∴PE=PF+CH;

          (2)∵在△ACH中,∠A=30°,
          ∴AC=2CH.
          ∵S△ABC=
          1
          2
          AB•CH,AB=AC,
          1
          2
          ×2CH•CH=49,
          ∴CH=7.
          分兩種情況:
          ①P為底邊BC上一點(diǎn),如圖①.
          ∵PE+PF=CH,
          ∴PE=CH-PF=7-3=4;
          ②P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí),如圖②.
          ∵PE=PF+CH,
          ∴PE=3+7=10.
          故答案為7;4或10.
          點(diǎn)評:本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的面積,難度適中,運(yùn)用面積證明可使問題簡便,(2)中分情況討論是解題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
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          △ABD≌△ACE(答案不唯一)
          (寫出一對即可).

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          (2)若與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,與y軸交于點(diǎn)C.在該拋物線上是否存在點(diǎn)D,使得△ABC與△ABD全等?若存在,求出D點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由
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          b2a

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          (2)若P為AB上一點(diǎn),且
          AP
          PB
          =
          1
          3
          ,求過點(diǎn)P的反比例函數(shù)的解析式;
          (3)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得以A、P、O、Q為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形?若存在,請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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