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        1. 【題目】如圖,在ABC中,AB=AC,ADBC于點(diǎn)D,BC=12cm,AD=8cm.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動,與此同時,垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā),以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,分別交AB,AC,AD于E,F(xiàn),H,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時,點(diǎn)P與直線m同時停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t秒(t0).

          (1)連接DE、DF,當(dāng)t為何值時,四邊形AEDF為菱形?

          (2)連接PE、PF,在整個運(yùn)動過程中,PEF的面積是否存在最大值?若存在,試求當(dāng)PEF的面積最大時,線段BP的長.

          (3)是否存在某一時刻t,使點(diǎn)F在線段EP的中垂線上?若存在,請求出此時刻t的值;若不存在,請說明理由.

          【答案】(1)當(dāng)t=2s時,四邊形AEDF為菱形;(2)BP=6cm;(3)存在某一時刻t,使點(diǎn)F在線段EP的中垂線上,t=.

          【解析】

          試題分析:(1)根據(jù)四邊形AEDF為菱形,則EF垂直平分AD,此時,DH= AD=4cm,再根據(jù)直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,即可求得t==2(s);(2)先根據(jù)EFBC,得到AEF∽△ABC,進(jìn)而得出 ,據(jù)此求得EF=12﹣3t,再根據(jù)SPEF=EFDH=(12﹣3t)2t=﹣3t2+12t=﹣3(t﹣2)2+12(0t4),求得當(dāng)t=2秒時,SPEF存在最大值,最大值為12cm2,最后計算線段BP的長;(3)若點(diǎn)F在線段EP的中垂線上,則FE=FP,過點(diǎn)F作FGBC于G,則FG=HD=2t,F(xiàn)GAD,根據(jù)FCG∽△ACD,得到,進(jìn)而得到CG=t,PG=12﹣3t﹣t,最后在RtPFG中,根據(jù)勾股定理列出方程(12﹣3t﹣t)2+(2t)2=(12﹣3t)2,即可求得t的值.

          試題解析:(1)如圖1,若四邊形AEDF為菱形,則EF垂直平分AD,

          此時,DH=AD=4cm,

          直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,

          t==2(s),

          此時,EF垂直平分AD,

          AE=DE,AF=DF.

          AB=AC,ADBC于點(diǎn)D,

          ADBC,B=C.

          EFBC,

          ∴∠AEF=B,AFE=C,

          ∴∠AEF=AFE,

          AE=AF,

          AE=AF=DE=DF,

          即四邊形AEDF為菱形,

          故當(dāng)t=2s時,四邊形AEDF為菱形;

          (2)如圖2,直線m以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,AD=8cm,

          DH=2t,AH=8﹣2t,

          EFBC,

          ∴△AEF∽△ABC,

          ,即

          解得EF=12﹣3t,

          SPEF=EFDH=(12﹣3t)2t=﹣3t2+12t=﹣3(t﹣2)2+12(0t4),

          當(dāng)t=2秒時,SPEF存在最大值,最大值為12cm2,

          此時BP=3t=6cm;

          (3)存在某一時刻t,使點(diǎn)F在線段EP的中垂線上.

          AB=AC,ADBC,BC=12cm,AD=8cm,

          AB=AC=10cm,

          若點(diǎn)F在線段EP的中垂線上,則FE=FP,

          由(2)可得,EF=12﹣3t=PF,

          如圖3,過點(diǎn)F作FGBC于G,則FG=HD=2t,F(xiàn)GAD,

          ∴△FCG∽△ACD,

          ,即,

          CG=t,

          BP=3t,BC=12cm,

          PG=12﹣3t﹣t,

          RtPFG中,(12﹣3t﹣t)2+(2t)2=(12﹣3t)2,

          解得t1=或t2=0(舍去),

          當(dāng)t=時,點(diǎn)F在線段EP的中垂線上.

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