Question

【題目】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高．
（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）求證：∠DHF=∠DEF．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，

∴DE、EF都是△ABC的中位線(xiàn)，

∴EF∥AB，DE∥AC，

∴四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）證明：∵四邊形ADEF是平行四邊形，

∴∠DEF=∠BAC，

∵D，F(xiàn)分別是AB，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高，

∴DH=AD，F(xiàn)H=AF，

∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，

∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，

∠DHA+∠FHA=∠DHF，

∴∠DHF=∠BAC，

∴∠DHF=∠DEF．

【解析】（1）根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根據(jù)平行四邊形的定義證明即可；（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等可得∠DEF=∠BAC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得DH=AD，F(xiàn)H=AF，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代換即可得到∠DHF=∠DEF．
【考點(diǎn)精析】掌握直角三角形斜邊上的中線(xiàn)和三角形中位線(xiàn)定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)；三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．