Question

【題目】某廠有4臺(tái)大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，出現(xiàn)故障時(shí)需1名維修工人進(jìn)行維修，每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為 ． （Ⅰ）若出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為x，求x的分布列；
（Ⅱ）該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90%？
（Ⅲ）已知一名維修工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位維修工人1萬(wàn)元的工資，每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修，就使該廠產(chǎn)生5萬(wàn)元的利潤(rùn)，否則將不產(chǎn)生利潤(rùn)，若該廠現(xiàn)有2名維修工人，求該廠每月獲利的均值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）一臺(tái)機(jī)器運(yùn)行是否出現(xiàn)故障可看作一次實(shí)驗(yàn)，在一次試驗(yàn)中，機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)為A，則事件A的概率為 ，該廠有4臺(tái)機(jī)器就相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為X， 故X～B ， ， ， ， ， ．
即X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P

（Ⅱ）設(shè)該廠有n名工人，則“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障及時(shí)進(jìn)行維修”為x≤n，即x=0，x=1，…，x=n，這n+1個(gè)互斥事件的和事件，
則

n	0	1	2	3	4
P（x≤n）					1

∵ ，
∴至少要3名工人，才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于90%．
（Ⅲ）設(shè)該廠獲利為Y萬(wàn)元，則Y的所有可能取值為：18，13，8， ， ， ，
即Y的分布列為：

Y	18	13	8
P

則 ，
故該廠獲利的均值為 ．
【解析】（I）利用二項(xiàng)分布列的性質(zhì)與計(jì)算公式即可得出．（Ⅱ）設(shè)該廠有n名工人，則“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障及時(shí)進(jìn)行維修”為x≤n，即x=0，x=1，…，x=n，這n+1個(gè)互斥事件的和事件，利用（I）的分布列即可得出．（Ⅲ）設(shè)該廠獲利為Y萬(wàn)元，則Y的所有可能取值為：18，13，8，利用（I）的分布列及其互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．