Question

如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上一點(diǎn)E（不與點(diǎn)C，D重合），壓平后得到折痕MN．設(shè)AB=2，當(dāng)

CE

CD

=

1

2

時(shí)，則

AM

BN

=

 

．若

CE

CD

=

1

n

（n為整數(shù)），則

AM

BN

=

 

．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析：設(shè)EF和AD的交點(diǎn)為G，先求得CN，NE的長，再根據(jù)兩組相似三角形：△NCE∽△EDG∽△MFG，利用成比例線段即可求解．

解答：解：已知

CE

CD

=

1

n

（n為整數(shù)），且CD=2，則CE=

2

n

，DE=

2n-2

n

；
設(shè)AM=a，BN=b；
在Rt△NCE中，NE=BN=b，NC=2-b，由勾股定理得：
NE²=NC²+CE²，即b²=（2-b）²+（

2

n

）²；
解得：b=

n2+1

n2

，BN=NE=

n2+1

n2

，NC=2-b=

n2-1

n2

；
由于∠NEF=90°，∠C=∠D，
∴∠GED+∠NEC=90°，∠GED+∠DGE=90°，
∴∠NEC=∠DGE，
易證得△NEC∽△EDG，
∴

EN

EG

=

NC

DE

，即

n2-1 n2

2(n-1) n

=

n2+1 n2

EG

；
解得：EG=

2n2+2

n2+n

，F(xiàn)G=EF-EG=2-

2n2+2

n2+n

=

2n-2

n2+n

，
∵∠FGM=∠DGE=∠NEC，且∠F=∠C=90°，
∴△MFG∽△NCE，得：

MF

CN

=

FG

CE

；
即：

MF

n2-1 n2

=

2n-2 n2+n

2 n

，解得：MF=

(n-1)2

n2

；
∴

AM

BN

=

MF

NE

=

(n-1)2 n2

n2+1 n2

=

(n-1)2

n2+1

；
當(dāng)n=2時(shí)，

AM

BN

=

1

5

；
故答案為：

1

5

，

(n-1)2

n2+1

．

點(diǎn)評：本題考查圖形的翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，由于計(jì)算量較大，需要細(xì)心求解．