Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點D，點E在弧BD上，連接DE，AE，連接CE并延長交AB于點F，∠AED=∠ACF．

（1）求證：CF⊥AB；
（2）若CD=4，CB=4 ，cos∠ACF= ，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接BD，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠1=90°，

∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DAB+∠3=90°，

∴∠CFA=180°﹣（DAB+∠3）=90°，∴CF⊥AB；

（2）

解：連接OE，

∵∠ADB=90°，∴∠CDB=180°﹣∠ADB=90°，

∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4 ，

∴DB= ，

∵∠1=∠3，∴cos∠1=cos∠3= ，∴AB=10，

∴OA=OE=5，AD= ，

∵CD=4，∴AC=AD+CD=10，

∵CF=ACcos∠3=8，∴AF= ，

∴OF=AF﹣OA=1，∴EF= ．

【解析】（1）連接BD，由AB是圓O的直徑，得到∠ADB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠CFA=180°-（∠DAB+∠3）=90°，于是得到結(jié)論；
（2）連接OE，由∠ADB=90°，得到∠CDB=180°-∠ADB=90°，根據(jù)勾股定理得到DB==8，解直角三角形得到CD=4，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論。
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解余角和補(bǔ)角的特征的相關(guān)知識，掌握互余、互補(bǔ)是指兩個角的數(shù)量關(guān)系，與兩個角的位置無關(guān)，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．