Question

【題目】如圖，將一個(gè)直角三角形紙片，放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn).將沿翻折得到（點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）.

（Ⅰ）求的長(zhǎng)及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn).

①已知，，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)到直線的距離；

②連接，，且，現(xiàn)將沿翻折得到（點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線，交直線分別為點(diǎn)，，最后將沿翻折得到（點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），連接，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），點(diǎn)坐標(biāo)為；（Ⅱ）①點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離為；②或或.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)和翻折的性質(zhì)可得四邊形OBAD為正方形，即可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理得出OA的長(zhǎng).

（Ⅱ）①作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，再根據(jù)待定系數(shù)法確定直線的解析式，求出直線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)等積法求出點(diǎn)到直線的距離即可.

②分(a)當(dāng)點(diǎn)M在線段EA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在線段AE時(shí)，（b）當(dāng)點(diǎn)M，N在線段EA上時(shí)，(c)當(dāng)點(diǎn)M在線段EA上，點(diǎn)N在AE的延長(zhǎng)線上時(shí)，三種情況進(jìn)行討論，作MH⊥OB于H，GK⊥EB于K,然后證明△AMH≌△GAK，推出HM=EH=BK，BH=GK，所以BH=EK=GK，從而得出∠MEG=90°，由NE：EG=5：12，設(shè)NE=5k，EG=12k，則MN=NG=13k，EM=18k，可得BH=GK=EK=6k，EH=MH=9k，再根據(jù)HE=AH+AE，得出關(guān)于k的方程，得出k的值即可解決問(wèn)題；

解：（Ⅰ）如圖，∵，，

∴，.

在中，.

∵，

∴.

∵將沿翻折得到，

∴.

∴

∴點(diǎn)落在軸上.點(diǎn)坐標(biāo)為.

（Ⅱ）①如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與軸交于點(diǎn)，連接，若在軸上任取點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）．連接，，，

由，

可知最小.

∵將沿翻折得到.

∴，

∵，

.

∴.

∵，

∴.

設(shè)直線的方程為.

將的坐標(biāo)代入，

得，

解得.

∴直線的方程為

當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

在中，，.

∴.

過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，

∵，

∴

∴當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為.

②(a)如圖3中，當(dāng)點(diǎn)M在線段EA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在線段AE時(shí)，

作MH⊥OB于H，GK⊥EB于K,

由翻折可知：∠MBN=∠NBG=45°，BM=BG，
∴∠MBG=90°，
∵∠MHB=∠K=90°，
∴∠MBH+∠GBK=90°，∠HBM+∠BMH=90°，
∴∠BMH=∠GBK，
∴△BMH≌△GBK，
∴HM=EH=BK，BH=GK，
∴BH=EK=GK，
∴∠GEK=∠BEA=45°，
∴∠MEG=90°，
∵NE：EG=5：12，設(shè)NE=5k，EG=12k，則MN=NG=13k，EM=18k，
∴BH=GK=EK=6k，EH=MH=9k，
∵HE=BH+BE，
∴9k=6k+3，
∴k=，∴EH=MH=9,
∴OH=3．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
（b）如圖4中，當(dāng)點(diǎn)M，N在線段EA上時(shí)，同法可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（c）如圖5中，當(dāng)點(diǎn)M在線段EA上，點(diǎn)N在AE的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)或或．