Question

如圖，設四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以第二個正方形的對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去…，記正方形ABCD的邊長a₁=1，依上述方法所作的正方形的邊長依次為a₁，a₂，a₃，…，a_n，根據(jù)上述規(guī)律，則第n個正方形的邊長a_n的表達式為（　�。�

• A．

  2n

• B．

  2n

• C．

  2n+1

• D．

  2n-1

Answer 1

分析：求a₂的長即AC的長，根據(jù)直角△ABC中AB²+BC²=AC²可以計算，同理計算a₃、a₄．由求出的a₂=

2

a₁，a₃=

2

a₂…，a_n=

2

a_n-1可以找出規(guī)律，得到第n個正方形邊長的表達式．

解答：解：∵a₂=AC，且在直角△ABC中，AB²+BC²=AC²，
∴a₂=

2

a₁=

2

，
同理a₃=

2

a₂=(

2

)2a₁=2，
a₄=

2

a₃=(

2

)3a₁=2

2

；
由此可知：
a₂=

2

a₁=

2

，a₃=

2

a₂=(

2

)2a₁=2，a₄=

2

a₃=(

2

)3a₁=2

2

；…
故找到規(guī)律a_n=(

2

)n-1=

2n-1

．
故選D．

點評：本題考查了正方形的性質，以及勾股定理在直角三角形中的運用，考查了學生找規(guī)律的能力，本題中找到a_n的規(guī)律是解題的關鍵．