Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 已知矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（1，0）、C（3，0）．直線AC與y軸交于點(diǎn)G（0，6）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．

（1）求直線AC的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△CQE的面積最大？最大值為多少？
（3）在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使得以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？

Answer 1

（1）；（2）2，1；（3）或

試題分析：（1）設(shè)直線AC的解析式為由圖象經(jīng)過(guò)G(0，6)、C（3，0）兩點(diǎn)根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由AP=CQ=t，可得點(diǎn)P（1，4-t）.將y=4–t代入中，得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x=. 即得點(diǎn)E到CD的距離為，再根據(jù)三角形的面積公式及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）過(guò)點(diǎn)E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．分當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)E的下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)E的上方時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理求解即可.
（1）設(shè)直線AC的解析式為
∵直線AC經(jīng)過(guò)G(0，6)、C（3，0）兩點(diǎn)，
∴ 解得 
∴直線AC的解析式為；
（2）在中，當(dāng)x=1時(shí)，y="4." ∴A（1，4）.
∵AP=CQ=t，
∴點(diǎn)P（1，4-t）.
將y=4–t代入中，得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x=.
∴點(diǎn)E到CD的距離為.
∴S_△CQE===
∴當(dāng)t=2時(shí)，S_△CQE最大，最大值為1；
（3）過(guò)點(diǎn)E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．

當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)E的下方時(shí)，連結(jié)CH.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵四邊形CQEH為菱形，
∴.
在Rt△HMC中，由勾股定理得.
∴.
整理得.
解得，（舍）.
∴當(dāng)時(shí)，以C，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.
當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)E的上方時(shí)，同理可得當(dāng)時(shí). 以C，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.
∴t的值是或.
點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.