Question

【題目】如圖，A、P、B為⊙O上的三點(diǎn)，

(1)在優(yōu)弧AmB上求作一點(diǎn)C，使得 (尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；

(2)在(1)的條件下，若∠APB＝120°，連接AC，BC，求證：△ABC是等邊三角形.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）直接作出∠APB的平分線(xiàn)，進(jìn)而得出點(diǎn)C的位置；

（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得∠APC=∠BPC=60°，再根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等得出∠CAB=∠ABC=60°，從而得出∠ACB=60°，即可得出結(jié)論.

（1）如圖：作∠APB的平分線(xiàn)，交⊙O于點(diǎn)C.

（2）∵PC平分∠APB，∠APB＝120°，

∴∠APC=∠BPC=60°，

∵∠APC與∠ABC同對(duì)弧AC，

∴∠APC=∠ABC=60°，

∵∠BPC與∠BAC同對(duì)弧BC，

∴∠BPC=∠BAC=60°，

∴∠ACB=180°-∠ABC -∠BAC=60°，

∴∠ACB=∠ABC=∠BAC，

∴AC=BC=AB，

∴△ABC是等邊三角形.