Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，對稱軸DP交x軸于Q點，已知P（1，-2），且線段AB=4，tan∠ODP=

1

4

．
（1）求D點的坐標(biāo)．
（2）求拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式．
（3）在拋物線上是否存在點M（D點除外），使S_△DOP=S_△MOP？若存在，請求出M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)即可求出D點的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)頂點式，由待定系數(shù)法求出拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式．
（3）過D點作ED∥PO交y軸于E點，過E作EN⊥PO于N．過M點作直線與PO平行交y軸于F點，使其與PO之間的距離為

6 5

5

．根據(jù)S_△DOP=S_△MOP列出方程組求解即可．

解答：解：（1）依條件得：tan∠ODP=

1

4

，OQ=1，∴DQ=4（1分）
∴D（1，4）（3分）

（2）∵AB=4，∴BQ=2，OB=1∴B（-1，0）
依題意可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+4（4分）
把B（-1，0）代入y=a（x-1）²+4得a=-1，（5分）
∴拋物線解析式為y=-（x-1）²+4（6分）

（3）過D點作ED∥PO交y軸于E點，過E作EN⊥PO于N．
∵S△OPD=

1

2

OQ•DP=

1

2

PO•EN，∴EN=

6 5

5

又Rt△ENO∽Rt△PHO
∴

OP

OE

=

PH

EN

，
∴OE=6
又直線y_OP=-2x（7分）
過M點作直線與PO平行交y軸于F點，使其與PO之間的距離為

6 5

5

．
此時S_△DOP=S_△MOP．∴y_ED=-2x+6，y_FQ=-2x-6．
∴

y=-2x+6 y=-(x-1)2+4

或

y=-2x-6 y=-(x-1)2+4

解得：

x1=1 y1=4

，

x2=3 y2=0

，

x3=2- 13 y3=-10+2 13

，

x4=2+ 13 y4=-10-2 13

∵M(jìn)與D不重合
∴存在M點的坐標(biāo)分別為：M1(3，0)，M2(2-

13

，-10+2

13

)，M3(2+

13

，-10-2

13

)．（10分）

點評：本題考查二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有三角函數(shù)、拋物線的頂點公式和三角形的面積求法、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，有一定的難度．