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        1. 【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,∠ACB=90°OC=2OBtanABC=2,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn).

          1)求拋物線的解析式;

          2)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn),過點(diǎn)PPD垂直x軸于點(diǎn)D,交線段AB于點(diǎn)E,使PE最大.

          ①求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PE的最大值.

          ②在直線PD上是否存在點(diǎn)M,使點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上;若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

          【答案】1y=x23x+4;(2)①,P② M)或(,

          【解析】

          1)先根據(jù)已知求點(diǎn)A的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;

          2)①根據(jù)A(﹣26),B10),求得AB的解析式為:y=2x+2,設(shè)Pa,﹣a23a+4),則Ea,﹣2a+2),利用PE=a23a+4(2a+2)=(a+)2+,根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即求解;

          ②根據(jù)點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上,得到∠AMB=90°,即AM2+BM2=AB2,求出,AB2故可列出方程求解.

          解:(1∵B1,0

          ∴OB=1

          ∵OC=2OB=2,

          ∴BC=3 ,C(﹣2,0

          Rt△ABC中,tan∠ABC=2

          =2,

          ∴AC=6,

          ∴A(﹣26),

          A(﹣26)和B1,0)代入y=x2+bx+c得:,

          解得:,

          拋物線的解析式為:y=x23x+4;

          2①∵A(﹣2,6),B10),

          易得AB的解析式為:y=2x+2

          設(shè)Pa,﹣a23a+4),則Ea,﹣2a+2),

          ∴PE=a23a+4(2a+2)=a2a+2=(a+)2+

          當(dāng)a=時(shí),PE=,此時(shí)P(,)

          ②∵M(jìn)在直線PD上,且P(,),

          +

          AB2=32+62=45

          點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上

          此時(shí)∠AMB=90°,

          ∴AM2+BM2=AB2

          ++=45

          解得: ,

          ∴M,)或(,

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          3)當(dāng)AD   時(shí),四邊形AEDF是正方形.

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