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        1. (1998•溫州)如圖,在半徑為4的⊙O中,AB,CD是兩條直徑,M是OB的中點,CM的延長線交⊙O于點E,設DE=,EM=x.
          (1)用含x和a的代數(shù)式表示MC的長,并求證:
          (2)當a=15,且EM>MC時,求sin∠EOM的值;
          (3)根據(jù)圖形寫出EM的長的取值范圍.試問:在弧DB上是否存在一點E,使EM的長是關于x的方程的相等實數(shù)根?如果存在,求出sin∠EOM的值;如果不存在,請說明理由.

          【答案】分析:(1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到直角三角形CDE,再根據(jù)勾股定理求得CE的長,進一步求得MC的長.根據(jù)相交弦定理進行證明.
          (2)根據(jù)(1)中的方程即可求得x的值,即可以求得EM,CM的長.此時會發(fā)現(xiàn)三角形EOM是等腰三角形,作其底邊上的高,根據(jù)等腰三角形的三線合一和勾股定理求得其底邊上的高,再進一步求得sin∠EOM的值;
          (3)根據(jù)圖形可知EM一定大于BM的長,即2,而小于AM的長,即6.首先根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根,利用△=0求得a的值,再進一步求得EM的長.根據(jù)EM,OE,OM的長,不難發(fā)現(xiàn)這是一個直角三角形,即可求得sin∠EOM的值.
          解答:解:(1)∵CD是直徑
          ∴∠CED=90度
          在直角三角形CDE中,DE=,CD=8
          根據(jù)勾股定理,得CE=
          ∴MC=-x
          根據(jù)相交弦定理,得
          AM•BM=CM•EM
          即x(-x)=6×2


          (2)當a=15時,根據(jù)(1)中的方程,有
          x2-7x+12=0
          解得x=3或x=4
          又EM>MC,則
          EM=4,MC=3
          因為EM=EO=4,作EF⊥OB于F,則OF=1
          根據(jù)勾股定理,得EF=
          所以sin∠EOM=

          (3)根據(jù)圖形,顯然2<x<6.
          根據(jù)EM的長是關于x的方程的相等實數(shù)根,則
          △=64-a-48=0
          ∴a=16
          把a=16代入方程,解得x=2
          即EM=2
          又∵OE=4,OM=2
          ∴sin∠EOM=
          點評:綜合運用了數(shù)形結合的知識.既要熟悉一元二次方程根的判別式,還要熟悉相交弦定理、勾股定理及其逆定理和銳角三角函數(shù)的定義.在計算的過程中能夠根據(jù)線段的長發(fā)現(xiàn)特殊的三角形.
          練習冊系列答案
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