Question

（2013•聊城）已知△ABC中，邊BC的長(zhǎng)與BC邊上的高的和為20．
（1）寫(xiě)出△ABC的面積y與BC的長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積為48時(shí)BC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)BC多長(zhǎng)時(shí)，△ABC的面積最大？最大面積是多少？
（3）當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，是否存在其周長(zhǎng)最小的情形？如果存在，請(qǐng)說(shuō)出理由，并求出其最小周長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)給予說(shuō)明．

Answer 1

分析：（1）先表示出BC邊上的高，再根據(jù)三角形的面積公式就可以表示出表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)y=48時(shí)代入解析式就可以求出其值；
（2）將（1）的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式就可以求出最大值．
（3）由（2）可知△ABC的面積最大時(shí)，BC=10，BC邊上的高也為10過(guò)點(diǎn)A作直線L平行于BC，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′C 交直線L于點(diǎn)A′，再連接A′B，AB′，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)及三角形的周長(zhǎng)公式就可以求出周長(zhǎng)的最小值．

解答：解：（1）由題意，得
y=

x(20-x)

2

=-

1

2

x²+10x，
當(dāng)y=48時(shí)，-

1

2

x²+10x=48，
解得：x₁=12，x₂=8，
∴面積為48時(shí)，BC的長(zhǎng)為12或8；

（2）∵y=-

1

2

x²+10x，
∴y=-

1

2

（x-10）²+50，
∴當(dāng)x=10時(shí)，y_最大=50；

（3）△ABC面積最大時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)存在最小的情形．理由如下：
由（2）可知△ABC的面積最大時(shí)，BC=10，BC邊上的高也為10
過(guò)點(diǎn)A作直線L平行于BC，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B′，
連接B′C 交直線L于點(diǎn)A′，再連接A′B，AB′
則由對(duì)稱性得：A′B′=A′B，AB′=AB，
∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C，
當(dāng)點(diǎn)A不在線段B′C上時(shí)，則由三角形三邊關(guān)系可得：
△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=AB′+AC+BC＞B′C+BC，
當(dāng)點(diǎn)A在線段B′C上時(shí)，即點(diǎn)A與A′重合，這時(shí)△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC，
因此當(dāng)點(diǎn)A與A′重合時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)最小；
這時(shí)由作法可知：BB′=20，∴B′C=

202+102

=10

5

，∴△ABC的周長(zhǎng)=10

5

+10，
因此當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，存在其周長(zhǎng)最小的情形，最小周長(zhǎng)為10

5

+10．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一元二次方程的解法和頂點(diǎn)式的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，在解答第三問(wèn)時(shí)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)是關(guān)鍵．