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        1. (2013•聊城)已知△ABC中,邊BC的長與BC邊上的高的和為20.
          (1)寫出△ABC的面積y與BC的長x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出面積為48時BC的長;
          (2)當BC多長時,△ABC的面積最大?最大面積是多少?
          (3)當△ABC面積最大時,是否存在其周長最小的情形?如果存在,請說出理由,并求出其最小周長;如果不存在,請給予說明.
          分析:(1)先表示出BC邊上的高,再根據(jù)三角形的面積公式就可以表示出表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,當y=48時代入解析式就可以求出其值;
          (2)將(1)的解析式轉(zhuǎn)化為頂點式就可以求出最大值.
          (3)由(2)可知△ABC的面積最大時,BC=10,BC邊上的高也為10過點A作直線L平行于BC,作點B關(guān)于直線L的對稱點B′,連接B′C 交直線L于點A′,再連接A′B,AB′,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及三角形的周長公式就可以求出周長的最小值.
          解答:解:(1)由題意,得
          y=
          x(20-x)
          2
          =-
          1
          2
          x2+10x,
          當y=48時,-
          1
          2
          x2+10x=48,
          解得:x1=12,x2=8,
          ∴面積為48時,BC的長為12或8;

          (2)∵y=-
          1
          2
          x2+10x,
          ∴y=-
          1
          2
          (x-10)2+50,
          ∴當x=10時,y最大=50;

          (3)△ABC面積最大時,△ABC的周長存在最小的情形.理由如下:
          由(2)可知△ABC的面積最大時,BC=10,BC邊上的高也為10
          過點A作直線L平行于BC,作點B關(guān)于直線L的對稱點B′,
          連接B′C 交直線L于點A′,再連接A′B,AB′
          則由對稱性得:A′B′=A′B,AB′=AB,
          ∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C,
          當點A不在線段B′C上時,則由三角形三邊關(guān)系可得:
          △ABC的周長=AB+AC+BC=AB′+AC+BC>B′C+BC,
          當點A在線段B′C上時,即點A與A′重合,這時△ABC的周長=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC,
          因此當點A與A′重合時,△ABC的周長最;
          這時由作法可知:BB′=20,∴B′C=
          202+102
          =10
          5
          ,∴△ABC的周長=10
          5
          +10,
          因此當△ABC面積最大時,存在其周長最小的情形,最小周長為10
          5
          +10.
          點評:本題是一道二次函數(shù)的綜合試題,考查了二次函數(shù)的解析式的運用,一元二次方程的解法和頂點式的運用,軸對稱的性質(zhì)的運用,在解答第三問時靈活運用軸對稱的性質(zhì)是關(guān)鍵.
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