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        1. (2013•聊城)已知△ABC中,邊BC的長(zhǎng)與BC邊上的高的和為20.
          (1)寫(xiě)出△ABC的面積y與BC的長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出面積為48時(shí)BC的長(zhǎng);
          (2)當(dāng)BC多長(zhǎng)時(shí),△ABC的面積最大?最大面積是多少?
          (3)當(dāng)△ABC面積最大時(shí),是否存在其周長(zhǎng)最小的情形?如果存在,請(qǐng)說(shuō)出理由,并求出其最小周長(zhǎng);如果不存在,請(qǐng)給予說(shuō)明.
          分析:(1)先表示出BC邊上的高,再根據(jù)三角形的面積公式就可以表示出表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)y=48時(shí)代入解析式就可以求出其值;
          (2)將(1)的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式就可以求出最大值.
          (3)由(2)可知△ABC的面積最大時(shí),BC=10,BC邊上的高也為10過(guò)點(diǎn)A作直線L平行于BC,作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接B′C 交直線L于點(diǎn)A′,再連接A′B,AB′,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)及三角形的周長(zhǎng)公式就可以求出周長(zhǎng)的最小值.
          解答:解:(1)由題意,得
          y=
          x(20-x)
          2
          =-
          1
          2
          x2+10x,
          當(dāng)y=48時(shí),-
          1
          2
          x2+10x=48,
          解得:x1=12,x2=8,
          ∴面積為48時(shí),BC的長(zhǎng)為12或8;

          (2)∵y=-
          1
          2
          x2+10x,
          ∴y=-
          1
          2
          (x-10)2+50,
          ∴當(dāng)x=10時(shí),y最大=50;

          (3)△ABC面積最大時(shí),△ABC的周長(zhǎng)存在最小的情形.理由如下:
          由(2)可知△ABC的面積最大時(shí),BC=10,BC邊上的高也為10
          過(guò)點(diǎn)A作直線L平行于BC,作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B′,
          連接B′C 交直線L于點(diǎn)A′,再連接A′B,AB′
          則由對(duì)稱性得:A′B′=A′B,AB′=AB,
          ∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C,
          當(dāng)點(diǎn)A不在線段B′C上時(shí),則由三角形三邊關(guān)系可得:
          △ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=AB′+AC+BC>B′C+BC,
          當(dāng)點(diǎn)A在線段B′C上時(shí),即點(diǎn)A與A′重合,這時(shí)△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC,
          因此當(dāng)點(diǎn)A與A′重合時(shí),△ABC的周長(zhǎng)最小;
          這時(shí)由作法可知:BB′=20,∴B′C=
          202+102
          =10
          5
          ,∴△ABC的周長(zhǎng)=10
          5
          +10,
          因此當(dāng)△ABC面積最大時(shí),存在其周長(zhǎng)最小的情形,最小周長(zhǎng)為10
          5
          +10.
          點(diǎn)評(píng):本題是一道二次函數(shù)的綜合試題,考查了二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用,一元二次方程的解法和頂點(diǎn)式的運(yùn)用,軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用,在解答第三問(wèn)時(shí)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)是關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          25
          25
          cm.

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          (參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
          (1)貓頭鷹飛至C處后,能否看到這只老鼠?為什么?
          (2)要捕捉到這只老鼠,貓頭鷹至少要飛多少米(精確到0.1米)?

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          同步練習(xí)冊(cè)答案