Question

已知，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD=5，AB=DC=2．
（1）P為AD上一點，滿足∠BPC=∠A，求證：△ABP∽△DPC；
（2）如果點P在AD邊上移動（P與點A、D不重合），且滿足∠BPE=∠A，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q，那么，當點Q在線段DC的延長線上時，設AP=x，CQ=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的自變量取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當∠BPC=∠A時，∠1+∠BPC+∠3=180°，而∠1+∠A+∠2=180°，因此∠ABP=∠DPC，此時△APB∽△DCP；
（2）利用△ABP∽△DPQ，可得出

AB

AP

=

PD

DQ

，得出y與x之間的關系式．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，AD＜BC，AB=DC=2，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠A=∠D，
又∵∠1+∠BPC+∠3=180°，
在△APB中，∠1+∠A+∠2=180°，
而∠BPC=∠A，
∴∠2=∠3，
∴△APB∽△DCP．

（2）解：由（1）可得出：△ABP∽△DPQ，
∴

AB

AP

=

PD

DQ

，
∴

2

x

=

5-x

y+2

，
得y=-

1

2

x²+

5

2

x-2．（1＜x＜4）．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及函數關系式求法，根據已知得出∠DPC=∠ABP是解題關鍵．