Question

【題目】如圖(1)，點(diǎn)P是等腰三角形ABC底邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的垂線，交直線AB于點(diǎn)Q，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R．

(1)試猜想線段AR與AQ的長(zhǎng)度之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．

(2)如圖(2)，如果點(diǎn)P沿著底邊BC所在的直線，按由C向B的方向運(yùn)動(dòng)到CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，問(1)中所得的結(jié)論還成立嗎？為什么？

Answer 1

【答案】（1）AR=AQ，證明見詳解了；（2）AR=AQ，證明見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠B=∠C，根據(jù)等角的余角相等求出∠BQP=∠PRC，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠BQP=∠AQR，從而得到∠AQR=∠PRC，然后根據(jù)等角對(duì)等邊證明即可；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC=∠C，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠ABC=∠PBQ，從而得到∠C=∠PBQ，然后根據(jù)等角的余角相等求出∠Q=∠R，最后根據(jù)等角對(duì)等邊證明即可．

（1）解：AR=AQ．

理由如下：∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵PR⊥BC，

∴∠B+∠BQP=90°，

∠C+∠PRC=90°，

∴∠BQP=∠PRC，

∵∠BQP=∠AQR（對(duì)頂角相等），

∴∠AQR=∠PRC，

∴AR=AQ；

（2）AR=AQ依然成立．

理由如下：∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠ABC=∠PBQ（對(duì)頂角相等），

∴∠C=∠PBQ，

∵PR⊥BC，

∴∠R+∠C=90°，∠Q+∠PBQ=90°，

∴∠Q=∠R，

∴AR=AQ．