Question

【題目】如圖，已知△ABC，AB=，，∠B=45°，點(diǎn)D在邊BC上，聯(lián)結(jié)AD， 以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫(huà)圓，與邊AC交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在圓A上，且AF⊥AD．

（1）設(shè)BD為x，點(diǎn)D、F之間的距離為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；

（2）如果E是的中點(diǎn)，求的值；

（3）聯(lián)結(jié)CF，如果四邊形ADCF是梯形，求BD的長(zhǎng) ．

Answer 1

【答案】(1) (0≤x≤3); (2) ; (3) BD的長(zhǎng)是1或.

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的長(zhǎng)度．聯(lián)結(jié)DF，點(diǎn)D、F之間的距離y即為DF的長(zhǎng)度，在Rt△ADF中，利用銳角三角形函數(shù)的定義求得DF的長(zhǎng)度，易得函數(shù)關(guān)系式．

（2）由勾股定理求得：AC=．設(shè)DF與AE相交于點(diǎn)Q，通過(guò)解Rt△DCQ和Rt△AHC推知．故設(shè)DQ=k，CQ=2k，AQ=DQ=k，所以再次利用勾股定理推知DC的長(zhǎng)度，結(jié)合圖形求得線段BD的長(zhǎng)度，易得答案．

（3）如果四邊形ADCF是梯形，則需要分類(lèi)討論：①當(dāng)AF∥DC、②當(dāng)AD∥FC．根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合圖形解答．

（1）過(guò)點(diǎn)作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．

∵∠B=45°，AB=，∴．

∵BD為x，∴．

在Rt△中，，∴．

聯(lián)結(jié)DF，點(diǎn)D、F之間的距離y即為DF的長(zhǎng)度．

∵點(diǎn)F在圓A上，且AF⊥AD，∴，．

在Rt△中，，∴．

∴． ;

（2）∵E是的中點(diǎn)，∴，平分．

∵BC=3，∴．∴．

設(shè)DF與AE相交于點(diǎn)Q，在Rt△中，，．

在Rt△中，，．

∵，∴．

設(shè)，，

∵，，∴．

∵，∴．

（3）如果四邊形ADCF是梯形

則①當(dāng)AF∥DC時(shí)，．

∵，∴，即點(diǎn)D與點(diǎn)H重合． ∴．

②當(dāng)AD∥FC時(shí)，．

∵，∴．

∵，∴．

∴∽．∴．

∵，．

∴．即,

整理得 ，解得 （負(fù)數(shù)舍去）．

綜上所述，如果四邊形ADCF是梯形，BD的長(zhǎng)是1或．