Question

（2012•瑤海區(qū)三模）已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為P，連接PA、AC、CP，求△PAC的面積；
（3）過點(diǎn)C作y軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)D，連接PD、BD，BD交AC于點(diǎn)E，判斷四邊形PCED的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法將A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)代入解析式求出即可；
（2）利用兩點(diǎn)之間距離公式求出PA=2

5

，PC=

2

，AC=3

2

，進(jìn)而得出△PAC為直角三角形，求出面積即可；
（3）首先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，3），PC=DP，進(jìn)而得出四邊形PCED是菱形，再利用∠PCA=90°，得出答案即可．

解答：（1）由題意得：

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

，
∴y=-x²-2x+3；

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴P（-1，4），
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
∴PA=2

5

，PC=

2

，AC=3

2

，
∵PA²=PC²+AC²，
∴∠PCA=90°，
∴S△APC=

1

2

×AC×PC=

1

2

×

2

×3

2

=3；

（3）四邊形PCED是正方形，
∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，3），PC=DP，
∵A（-3，0），C（0，3），代入y=ax+b，

b=3 -3k+b=0

，
解得：

a=1 b=3

，
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式是：y=x+3，
同理可得出：直線DP的函數(shù)關(guān)系式是：y=x+5，
∴AC∥DP，
同理可得：PC∥BD，
∴四邊形PCED是菱形，
又∵∠PCA=90°，
∴四邊形PCED是正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及菱形與正方形的判定方法，難度不大，細(xì)心求解即可．