Question

【題目】已知矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，AC的垂直平分線(xiàn)EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O.

（1）如圖1，連接AF、CE，判斷四邊形AFCE的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)沿著A→F→B→A勻速運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)沿著C→D→E→C勻速運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：

① 已知點(diǎn)P的速度為10cm/s，點(diǎn)Q的速度為8cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A，C，P，Q組成的四邊形為平行四邊形？

② 點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a，b（單位：cm，ab≠0），問(wèn)當(dāng)a，b滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系式時(shí)，點(diǎn)A，C，P，Q組成的四邊形為平行四邊形？

Answer 1

【答案】（1）四邊形AFCE為菱形，見(jiàn)解析；（2）①t=s ；②a與b滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=24（ab≠0）

【解析】

（1）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定；
（2）①分情況討論可知，P點(diǎn)在BF上，Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可；

②分3種情況討論，分別得出a+b=24，即可得出答案．

（1）四邊形AFCE為菱形

證明：∵四邊形ABCD是矩形

∴AD∥BC

∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE

∵EF垂直平分AC

∴OA=OC

∴△AOE≌△COF

∴OE=OF

∴四邊形AFCE為平行四邊形

又∵EF⊥AC

∴四邊形AFCE為菱形

（2）解：①當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，

此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形

同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形

因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形

∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA，

∵點(diǎn)P的速度為每秒10cm，點(diǎn)Q的速度為每秒8cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒

∴PC=CF+FP=AF+FP=10t，QA=24﹣8t

∴10t=24﹣8t

∴t=s

②由題意得，四邊形APCO是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上．分三種情況：

（i）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上時(shí)，

AP=CQ，即a=24﹣b，得a+b=24

（ii）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí)，

AQ=CP，即24﹣b=a，得a+b=24

（iii）如圖3，當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上時(shí)，

AP=CQ，即24﹣a=b，得a+b=24

綜上所述，a與b滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=24（ab≠0）