Question

如圖1，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的長．
小萍同學(xué)靈活運用軸對稱知識，將圖形進(jìn)行翻折變換如圖1．她分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，得到四邊形AEGF是正方形．設(shè)AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值．
（1）請你幫小萍求出x的值．
（2）參考小萍的思路，探究并解答新問題：
如圖2，在△ABC中，∠BAC=30°，AD⊥BC于D，AD=4．請你按照小萍的方法畫圖，得到四邊形AEGF，求△BGC的周長．（畫圖所用字母與圖1中的字母對應(yīng)）

Answer 1

分析：（1）正方形AEGF的邊長是x．則BG=EC-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3，在直角△BGC中利用勾股定理即可得到關(guān)于x的方程，即可求解；
（2）可以證明△AEF是等邊三角形，△EFG是等腰三角形，作出底邊上的高，利用三角函數(shù)即可求解EG，根據(jù)△BGC的周長是：BG+GC+BC=BG+GC+BD+CD=BG+GC+BE+CF=2EG即可求解．

解答：解：（1）分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，
D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，
得到四邊形AEGF是正方形，
根據(jù)對稱的性質(zhì)可得：BE=BD=2，CF=CD=3，
設(shè)AD=x，則正方形AEGF的邊長是x，
則BG=EG-BE=x-2，CG=FG-CF=x-3，
在直角△BCG中，根據(jù)勾股定理可得：（x-2）²+（x-3）²=5²，
解得：x=6或-1（舍去）．
故邊長是6；

（2）作GM⊥EF于點M．
根據(jù)對稱的性質(zhì)可得：AE=AF=AD=4，
∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠DAC，
又∵∠BAC=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴EF=AE=4，∠AEF=∠AFE=60°，
∴∠GEF=∠GFE=30°，
則EG=GF，
∴EM=

1

2

EF=2，
∴EG=

2

cos30°

=

4 3

3

，
∴△BGC的周長是：BG+GC+BC=BG+GC+BD+CD=BG+GC+BE+CF=2EG=

8 3

3

．

點評：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．