Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象l與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，與雙曲線y=﹣
（x＜0）交于點(diǎn)P（﹣1，n），且F是PE的中點(diǎn)．

（1）求直線l的解析式；
（2）若直線x=a與l交于點(diǎn)A，與雙曲線交于點(diǎn)B（不同于A），
①當(dāng)a為何值時(shí)，△ABP是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？
②當(dāng)a為何值時(shí)，PA=PB．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)P（﹣1，n）在反比例函數(shù)y=﹣ 圖象上，

∴n=4，

∴P（﹣1，4），

∵F是PE的中點(diǎn)，

∴F（0，2），

∴ ，

∴ ，

∴y=﹣2x+2

（2）解：①∵△ABP是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

∴∠APB=90°=∠EOF，

∵直線AB∥y軸，

∴∠BAP=∠OFE，

∴△APB∽△FOE，

∴ =

當(dāng)x=a時(shí)，y=﹣2a+2，

∴A（a，﹣2a+2），

∵P（﹣1，4），

∴AP= = = |a+1|

當(dāng)x=a時(shí)，y=﹣ ，

∴B（a，﹣ ），

∴AB=|﹣2a+2+ ，

∵直線EF的解析式為y=﹣2x+2，

∴E（1，0），F(xiàn)（0，2），

∴OF=2，EF= ，

∴ ，

∴a= （舍）或a=﹣1（舍）或a=﹣8，

即：a=﹣8時(shí)，△ABP是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形；

②如圖，

過P作PD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，

∵P（﹣1，4），

∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，

∵PA=PB，

∴點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

由題意知，A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2a+2，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，

∴ ，

解得a1=﹣2，a2=﹣1（舍去）．

∴當(dāng)a=﹣2時(shí)，PA=PB

【解析】（1）將點(diǎn)P（﹣1，n）在代入反比例函數(shù)解析式可求得n的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后再求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，接下來，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）①先判斷出△APB∽△FOE，然后依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)列方出求解即可；②利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)建立方程求解即可.
【考點(diǎn)精析】掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大．