Question

已知拋物線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B,C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的右側(cè)）。如圖，過點(diǎn)A作垂直于y軸的直線l. 在y軸右側(cè)、位于直線l下方的拋物線上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線PQ平行于y軸交直線l于點(diǎn)Q，交x軸于R，連接AP.

（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如果以A，P，Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△AOC相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若將△APQ沿AP對(duì)折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M. 是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)M落在x軸上.若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）A(0，4)，B(4，0)，C(-1，0)；（2），；（3） 

試題分析：（1）分別求得拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到結(jié)果；
（2）設(shè)，則，，分與兩種情況分析即可得到結(jié)果；
（3）構(gòu)造正方形PQEF，ME=OA=4，AM=AQ=x，則PM=，證得～，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可表示出PF，從而可以表示出CM，在中，根據(jù)勾股定理即可列方程求得結(jié)果.
（1）在中，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，解得
∴A(0，4)，B(4，0)，C(-1，0)；
（2）設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，得，解得，此時(shí) 
當(dāng)時(shí)，得 ，解得，此時(shí)；
（3）如圖構(gòu)造正方形PQEF，ME=OA=4，AM=AQ=x

PM=，
證得～   
有，即，解得   
∴     
在中，



∴.
點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度較大，一般是中考?jí)狠S題，主要考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的熟練掌握情況.