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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】已知函數f(x)=ex﹣asinx﹣1,a∈R.
          (1)若a=1,求f(x)在x=0處的切線方程;
          (2)若f(x)≥0在區(qū)間[0,1)恒成立,求a的取值范圍.

          【答案】
          (1)解: a=1時,f(x)=ex﹣sinx﹣1,f′(x)=ex﹣cosx,

          ∴f′(0)=e0﹣cos0=0,且f(0)=e0﹣sin0﹣1=0,

          ∴f(x)在x=0處的切線方程為:y=0


          (2)f(x)≥0在區(qū)間[0,1)恒成立asinx≤ex﹣1在區(qū)間[0,1)恒成立.

          ①當x=0時,a∈R,

          ②當x∈(0,1)時,原不等式等價于a

          令h(x)= ,x∈(0,1)

          h′(x)= ,

          令G(x)=exsinx﹣excosx+cosx,(x∈(0,1))

          G′(x)=(2ex﹣1)sinx≥0,在x∈(0,1)恒成立.

          ∴G(x)=exsinx﹣excosx+cosx,(x∈(0,1))單調遞增,而G(0)=0.

          故G(x)≥0在(0,1)上恒成立,∴h′(x)≥在(0,1)上恒成立.

          h(x)在(0,1)上遞增,

          x→0時,sinx→0,ex﹣1→0,

          由洛必達法則得 = = ,

          即a≤1,

          綜上,a的取值范圍為(﹣∞,1]


          【解析】(1)利用導數的幾何意義,求出切線的斜率、切點,由點斜式寫出方程.(2)f(x)≥0在區(qū)間[0,1)恒成立asinx≤ex﹣1在區(qū)間[0,1)恒成立.①當x=0時,a∈R,②當x∈(0,1)時,原不等式等價于a , 令h(x)= ,x∈(0,1),利用導數求出h(x)在(0,1)上遞增,由洛必達法則得 = = ,即可求得a的取值范圍
          【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數,需要了解求函數上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數內的極值;(2)將函數的各極值與端點處的函數值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

          練習冊系列答案
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          n=50﹣x

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          當21≤x≤30時,


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