Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（3，0），以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，過(guò)B作⊙A的切線l．
（1）以直線l為對(duì)稱軸的拋物線過(guò)點(diǎn)A及點(diǎn)C（0，9），求此拋物線的解析式；
（2）拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，過(guò)D作⊙A的切線DE，E為切點(diǎn)，求此切線長(zhǎng)；
（3）點(diǎn)F是切線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BFD與△EAD相似時(shí)，求出BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣6）2+k；

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）和C（0，9），

∴ ，

解得： ，

∴ ．

（2）

解：連接AE；

∵DE是⊙A的切線，

∴∠AED=90°，AE=3，

∵直線l是拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)A，D是拋物線與x軸的交點(diǎn)，

∴AB=BD=3，

∴AD=6；

在Rt△ADE中，DE2=AD2﹣AE2=62﹣32=27，

∴ ．

（3）

解：當(dāng)BF⊥ED時(shí)；

∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，

∴△AED∽△BFD，

∴ ，

即 ，

∴ ；

當(dāng)FB⊥AD時(shí)，

∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，

∴△AED∽△FBD，

∴ ，

即 ；

∴BF的長(zhǎng)為 或 ．

【解析】（1）已知了拋物線的頂點(diǎn)橫從標(biāo)，可將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，然后將A點(diǎn)、C點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可．
（2）由于DE是⊙A的切線，連接AE，那么根據(jù)切線的性質(zhì)知AE⊥DE，在Rt△AED中，AE、AB是圓的半徑，即AE=OA=AB=3，而A、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，即AB=BD=3，由此可得到AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可利用勾股定理求得切線DE的長(zhǎng)．
（3）若△BFD與△EAD相似，則有兩種情況需要考慮：①△AED∽△BFD，②△AED∽△FBD，根據(jù)不同的相似三角形所得不同的比例線段即可求得BF的長(zhǎng)．