Question

【題目】如圖，拋物線y= x2﹣mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣1）．且對(duì)稱軸x=1．

（1）求出拋物線的解析式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積為3？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在．說明理由（使用圖1）；
（3）點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（使用圖2）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣1）．且對(duì)稱軸x=l．

∴ ，解得： ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣1，

令 x2﹣ x﹣1=0，得：x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

（2）

解：設(shè)在x軸下方的拋物線上存在D（a， ）（0＜a＜3）使四邊形ABCD的面積為3．

作DM⊥x軸于M，則S四邊形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD，

∴S四邊形ABDC= |xAyC|+ （|yD|+|yC|）xM+ （xB﹣xM）|yD|

= ×1×1+ [﹣（ a2﹣ a﹣1）+1]×a+ （3﹣a）[﹣（ a2﹣ a﹣1）]

=﹣ a2+ +2，

∴由﹣ a2+ +2=3，

解得：a1=1，a2=2，

∴D的縱坐標(biāo)為： a2﹣ a﹣1=﹣ 或﹣1，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣ ），（2，﹣1）

（3）

解：①當(dāng)AB為邊時(shí)，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知點(diǎn)Q在y軸上，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣4或4，

當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=7；當(dāng)x=4時(shí)，y= ；

所以此時(shí)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（﹣4，7），P2的坐標(biāo)為（4， ）；

②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，線段AB中點(diǎn)為G，PQ必過G點(diǎn)且與y軸交于Q點(diǎn)，

過點(diǎn)P3作x軸的垂線交于點(diǎn)H，

可證得△P3HG≌△Q3OG，

∴GO=GH，

∵線段AB的中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1，

∴此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為2，

由此當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣1，

∴這是有符合條件的點(diǎn)P3（2，﹣1），

∴所以符合條件的點(diǎn)為：P1的坐標(biāo)為（﹣4，7），P2的坐標(biāo)為（4， ）；P3（2，﹣1）．

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸公式以及二次函數(shù)經(jīng)過（0．﹣1）點(diǎn)即可得出答案；（2）根據(jù)S四邊形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD ， 表示出關(guān)于a的一元二次方程求出即可；（3）分別從當(dāng)AB為邊時(shí)，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可以及當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，分別求出即可．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．