Question

【題目】如圖，我們把一個(gè)半圓和拋物線(xiàn)的一部分圍成的封閉圖形稱(chēng)為“果圓”，已知分別為“果圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，直線(xiàn)與“果圓”中的拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)

(1)求“果圓”中拋物線(xiàn)的解析式，并直接寫(xiě)出“果圓”被軸截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)；

(2)如圖，為直線(xiàn)下方“果圓”上一點(diǎn)，連接，設(shè)與交于，的面積記為，的面積即為，求的最小值

(3)“果圓”上是否存在點(diǎn)，使，如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】(1)；6；(2)有最小值；(3)，.

【解析】

（1）先求出點(diǎn)B，C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)A坐標(biāo)，即可求出半圓的直徑，再構(gòu)造直角三角形求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可求出BD；
（2）先判斷出要求的最小值，只要CG最大即可，再求出直線(xiàn)EG解析式和拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立成的方程只有一個(gè)交點(diǎn)，求出直線(xiàn)EG解析式，即可求出CG，結(jié)論得證．
（3）求出線(xiàn)段AC，BC進(jìn)而判斷出滿(mǎn)足條件的一個(gè)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合，再利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)點(diǎn)P．

解:(1) 對(duì)于直線(xiàn)y=x-3，令x=0，
∴y=-3，
∴B（0，-3），
令y=0，
∴x-3=0，
∴x=4，
∴C（4，0），
∵拋物線(xiàn)y=x2+bx+c過(guò)B，C兩點(diǎn)，

∴

∴

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=;

令y=0，
∴=0,

∴x=4或x=-1，
∴A（-1，0），
∴AC=5，
如圖2，記半圓的圓心為O'，連接O'D，

∴O'A=O'D=O'C=AC=，
∴OO'=OC-O'C=4-=,
在Rt△O'OD中，OD==2,

∴D（0，2），
∴BD=2-（-3）=5；

(2) 如圖3，

∵A（-1，0），C（4，0），
∴AC=5，
過(guò)點(diǎn)E作EG∥BC交x軸于G，
∵△ABF的AF邊上的高和△BEF的EF邊的高相等，設(shè)高為h，
∴S△ABF=AFh，S△BEF=EFh，

∴==

∵的最小值，

∴最小，

∵CF∥GE，

∴

∴最小，即：CG最大，

∴EG和果圓的拋物線(xiàn)部分只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，CG最大，
∵直線(xiàn)BC的解析式為y=x-3，
設(shè)直線(xiàn)EG的解析式為y=x+m①，
∵拋物線(xiàn)的解析式為y=x2-x-3②，
聯(lián)立①②化簡(jiǎn)得，3x2-12x-12-4m=0，
∴△=144+4×3×（12+4m）=0，
∴m=-6，
∴直線(xiàn)EG的解析式為y=x-6，
令y=0，
∴x-6=0，
∴x=8，
∴CG=4，

∴=；

(3)，.理由：

如圖1，∵AC是半圓的直徑，
∴半圓上除點(diǎn)A，C外任意一點(diǎn)Q，都有∠AQC=90°，
∴點(diǎn)P只能在拋物線(xiàn)部分上，
∵B（0，-3），C（4，0），
∴BC=5，
∵AC=5，
∴AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
當(dāng)∠APC=∠CAB時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)B重合，即：P（0，-3），
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，另一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-3），
即：使∠APC=∠CAB，點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，-3）或（3，-3）．