Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1，0)和點(diǎn)B(4，0)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)P(m，n)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CA，CD，PD，PB．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)△PDB的面積等于△CAD的面積時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)m＞0，n＞0時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線PE⊥y軸于點(diǎn)E交直線BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，連接EG，請(qǐng)直接寫(xiě)出隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，線段EG的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，3）、（2，3）、（5，-3）或（-2，-3）；（3）線段EG的最小值為..

【解析】

（1）根據(jù)拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（4，0），應(yīng)用待定系數(shù)法，求出該拋物線的解析式即可；

（2）首先根據(jù)三角形的面積的求法，求出△CAD的面積，即可求出△PDB的面積，然后求出BD=2，即可求出|n|=3，據(jù)此判斷出n=3或-3，再把它代入拋物線的解析式，求出x的值是多少，即可判斷出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）首先應(yīng)用待定系數(shù)法，求出BC所在的直線的解析式，然后根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，n），求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)最值的求法，求出EG2的最小值，即可求出線段EG的最小值．

解：（1）把A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+2中，可得

，

解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2））∵拋物線的解析式為，

當(dāng)x=0時(shí)，y=2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2），

∵點(diǎn)A（-1，0）、點(diǎn)D（2，0），

∴AD=2-（-1）=3，

∴S△CAD =，

∴S△PDB =3，

∵點(diǎn)B（4，0）、點(diǎn)D（2，0），

∴BD=2，

∴|n|=3×2÷2=3，

∴n=3或-3，

①當(dāng)n=3時(shí)，

，

解得：m=1或m=2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，3）或（2，3）；

②當(dāng)n=-3時(shí)，

解得m=5或m=-2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，-3）或（-2，-3）；

綜上，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，3）、（2，3）、（5，-3）或（-2，-3）；

（3）如圖，

設(shè)BC所在的直線的解析式是：y=mx+n，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，0），

∴，

解得：，

∴BC所在的直線的解析式是：，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，n），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4-2n，n），

∴

，

∴當(dāng)時(shí)，線段EG有最小值：，

∴線段EG的最小值為.