Question

11、請(qǐng)閱讀下列材料：
已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若∠DAE=45°．探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．小明的思路是：把△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE′，連接E′D，使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題：
（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明；
（3）已知：如圖（3），等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，且∠DCE=30°，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）DE²=BD²+EC²，將△ADB沿直線AD對(duì)折，得△AFD，連FE，容易證明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF=AB，F(xiàn)D=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，再利用已知條件可以證明△AFE≌△ACE，從而可以得到∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，根據(jù)勾股定理即可證明猜想的結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的思路一樣可以解決問(wèn)題；
（3）當(dāng)AD=BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形．如圖，與（1）類似，以CE為一邊，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD=DF，EF=BE．由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°，這樣就可以解決問(wèn)題．

解答：解：（1）DE²=BD²+EC²；

（2）關(guān)系式DE²=BD²+EC²仍然成立．
證明：將△ADB沿直線AD對(duì)折，得△AFD，連FE
∴△AFD≌△ABD，
∴AF=AB，F(xiàn)D=DB，
∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，
又∵AB=AC，
∴AF=AC，
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB）=45°+∠DAB，
∴∠FAE=∠EAC，
又∵AE=AE，
∴△AFE≌△ACE，
∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，
∴在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
即DE²=BD²+EC²；

（2）當(dāng)AD=BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形．
如圖，與（1）類似，以CE為一邊，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD=DF，EF=BE．
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．
若使△DFE為等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，
∴當(dāng)AD=BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且頂角∠DFE為120°．

點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，此題關(guān)鍵是正確找出輔助線，通過(guò)輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，要掌握輔助線的作圖根據(jù)．