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        1. 【題目】如圖1,已知線段AC∥y軸,點B在第一象限,且AO平分∠BAC,AB交y軸與G,連OB、OC.

          (1)判斷△AOG的形狀,并予以證明;
          (2)若點B、C關于y軸對稱,求證:AO⊥BO;
          (3)在(2)的條件下,如圖2,點M為OA上一點,且∠ACM=45°,BM交y軸于P,若點B的坐標為(3,1),求點M的坐標.

          【答案】
          (1)解:△AOG的形狀是等腰三角形,

          理由如下:

          ∵AC∥y軸,

          ∴∠CAO=∠GOA,

          ∵AO平分∠BAC,

          ∴∠CAO=∠GAO,

          ∴∠GOA=∠GAO,

          ∴AG=OG,

          ∴△AOG是等腰三角形


          (2)解:如圖1,接連BC,過O作OE⊥AB于E,過點C作CD⊥x軸于點D,

          ∵B、C關于y軸對稱,AC∥y軸,

          ∴AC⊥BC,

          在Rt△COD和Rt△BOE中,

          ,

          ∴△COD≌△BOE(HL),

          ∴∠DCO=∠EBO,

          ∴∠BAC+∠BOC=180°,

          設∠BAO=∠CAO=x,∠OBC=∠OCB=y,

          ∴2x+∠BOC=180°,

          又∵2y+∠BOC=180°,

          ∴x=y,故∠OAC=∠OBC,

          ∴∠AOB=∠ACB=90°,

          ∴AO⊥OB


          (3)解:如圖2,連BC,作MF⊥x軸于F,BH⊥x軸于H,

          則∠ACB=90°,

          ∵∠ACM=45°,

          ∴CM平分∠ACB,又AM平分∠BAC,

          ∴BM平分∠ABC,設∠ABM=∠CBM=z,

          由(2)可得∠OMB=x+z,∠OBM=y+z=x+z

          ∴∠OMB=∠OBM,

          ∴OM=OB

          ∴△OBM為等腰直角三角形,

          ,

          ∴△OMF≌△OBH(AAS),

          ∴OF=BH=1,MF=OH=3,

          ∴M(﹣1,3)


          【解析】(1)△AOG的形狀是等腰三角形,利用已知條件證明AG=OG即可;(2)接連BC,易證△COD≌△BOE(HL),設∠BAO=∠CAO=x,∠OBC=∠OCB=y,利用全等三角形的性質和已知條件證明∠AOB=∠ACB=90°,即可得到AO⊥BO;(3)連BC,作MF⊥x軸于F,BH⊥x軸于H,易證△OMF≌△OBH,OF=BH=1,MF=OH=3,所以M(﹣1,3).

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