Question

如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為A（0，1），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，其橫坐標(biāo)為2n（0＜n＜1），作PC⊥x軸于C，PC交射線(xiàn)AB于點(diǎn)D
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）用n的代數(shù)式表示CD、PD的長(zhǎng)，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明與的大小關(guān)系；
（3）若將原題中“0＜n＜1”的條件改為“n＞1”，其他條件不變，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明（2）中結(jié)論是否仍然成立？

Answer 1

解：（1）如上圖
∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為A（0，1），經(jīng)過(guò)（2，0）點(diǎn)
∴y=ax²+1
又4a+1=0
解得a=-
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+1；（ 2分）

（2）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b
∵A（0，1）B（2，0）
∴
解得
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=-+1 3分
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2n，1-n²），且點(diǎn)P在第一象限．
又∵PC⊥x軸于C，PC交射線(xiàn)AB于點(diǎn)D
∴x_D=OC=2n，y_D=-×2n+1=1-n，且點(diǎn)D在第一象限
∴CD=1-n
PD=y_P-y_D=n（1-n）
∵0＜n＜1
∴
∵
∴；

（3）當(dāng)n＞1時(shí)，P、D兩點(diǎn)在第四象限，且P點(diǎn)在D點(diǎn)的下方（如圖），
y_D＞y_Y點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2n，1-n²）
∵x_D=OC=2n
∴y_D=-×2n+1=1-n
∵D點(diǎn)在第四象限
∴CD=y_D=1-n
PD=y_P-y_D=n（n-1）
∵n＞1
∴
∵
∴仍然成立．
分析：（1）根據(jù)題意把點(diǎn)A（0，1），（2，0）代入解析式求解即可得到y(tǒng)=-x²+1；
（2）先利用待定系數(shù)法解得直線(xiàn)AB的解析式為y=-+1，再根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2n，1-n²），求出CD=1-n，PD=y_P-y_D=n（1-n），從而得到=；
（3）利用同樣的方法可求得CD=y_D=1-n，PD=y_P-y_D=n（n-1），所以代入到與，得到=．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線(xiàn)段的長(zhǎng)度，從而求出線(xiàn)段之間的關(guān)系．