Question

如圖所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，點P是△ABC的外角∠BCN的角平分線上一個動點，點P′是點P關于直線BC的對稱點，連結PP′交BC于點M，BP′交AC于D，連結BP、AP′、CP′．

（1）若四邊形BPCP′為菱形，求BM的長；

（2）若△BMP′∽△ABC，求BM的長；

（3）若△ABD為等腰三角形，求△ABD的面積．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵四邊形BPCP′為菱形，而菱形的對角線互相垂直平分，

∴點M為BC的中點，∴BM=BC=×4=2。

（2）∵△ABC為等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，

∴△BMP′必為等腰直角三角形，BM=MP′。

由對稱軸可知，MP=MP′，PP′⊥BC，則△BMP為等腰直角三角形，

∴△BPP′為等腰直角三角形，BP′=BP。

∵∠CBP=45°，∠BCP=（180°﹣45°）=67.5°，

∴∠BPC=180°﹣∠CBP﹣∠BCP=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°。

∴∠BPC=∠BCP�！郆P=BC=4�！郆P′=4。

在等腰直角三角形BMP′中，斜邊BP′=4，∴BM=BP′=。

（3）△ABD為等腰三角形，有3種情形：

①若AD=BD，如題圖②所示，此時△ABD為等腰直角三角形，斜邊AB=4，

∴。

②若AD=AB，如答圖①所示，

過點D作DE⊥AB于點E，則△ADE為等腰直角三角形，

∴DE=AD=AB=。

∴，

③若AB=BD，則點D與點C重合，可知此時點P、點P′、點M均與點C重合，

∴。

【解析】（1）由菱形的性質可知，點M為BC的中點，所以BM可求。

（2）△ABC為等腰直角三角形，若△BMP′∽△ABC，則△BMP′必為等腰直角三角形．證明△BMP′、△BMP、△BPP′均為等腰直角三角形，則BP=BP′；證明△BCP為等腰三角形，BP=BC，從而BP′=BC=4，進而求出BM的長度。

（3）△ABD為等腰三角形，有3種情形，分類討論計算。