Question

【題目】（分）在菱形中， ， ，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（）如圖①，求的最小值．

（）如圖②，若也是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值．

（）如圖③，若，則在菱形內(nèi)部存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)分別到點(diǎn)、點(diǎn)、邊的距離之和最小．請你畫出這樣的點(diǎn)，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)正弦的定義求出AE的最小值；
（2）連接、、，在菱形中，可證為等邊三角形，

的最小值即為的最小值．
（3）以為邊在菱形外作等邊，作于， 即為點(diǎn)分別到點(diǎn)、點(diǎn)、邊的距離之和最小，當(dāng)于時(shí)，點(diǎn)即為所求．

試題解析：（）根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)， 最小，最小為菱形的高．

（）連接、、，

在菱形中，可證為等邊三角形，

的最小值即為的最小值．

（）如圖，以為邊在菱形外作等邊，

作于， 即為點(diǎn)分別到點(diǎn)、點(diǎn)、邊的距離之和最小，

當(dāng)于時(shí)，點(diǎn)即為所求．理由如下：

當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)在上，

此時(shí)， ， ，

要使點(diǎn)分別到點(diǎn)、點(diǎn)、邊的距離之和最小，

則要即可．

作，

由題意可得： 為的中點(diǎn)．

在中， ， ，

∴， ，

∴．