Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，直線AB：y=﹣x+b交x軸于點A(8，0)，交y軸正半軸于點B.

(1)求點B的坐標；

(2)如圖2，直線AC交y軸負半軸于點C，AB=BC，P為線段AB上一點，過點P作y軸的平行線交直線AC于點Q，設(shè)點P的橫坐標為t，線段PQ的長為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下，M為CA延長線上一點，且AM=CQ，在直線AC上方的直線AB上是否存在點N，使△QMN是以QM為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請求出點N的坐標及PN的長度；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) B(0，6)；(2) d=﹣t+10；(3)見解析.

【解析】(1)把A(8，0)代入y=﹣x+b，可求解析式，再求B的坐標；（2）先求點C(0，﹣4)，再求直線AC解析式，可設(shè)點P(t，﹣t+6)，Q(t， t﹣4)，所以d=(﹣t+6)﹣(t﹣4)；過點M作MG⊥PQ于G，證△OAC≌△GMQ，得QG=OC=4，GM=OA=8；過點N作NH⊥PQ于H，過點M作MR⊥NH于點R，得四邊形GHRM是矩形，得HR=GM=8；設(shè)GH=RM=k，由△HNQ≌△RMN，得HN=RM=k，NR=QH=4+k，由HR=HN+NR，得k+4+k=8，可得GH=NH=RM=2，HQ=6，由Q(t，t﹣4)，得N(t+2，t﹣4+6)，代入y=﹣x+6，得t+2=﹣(t+2)+6，求出t=2，再求P(2，)，N(4，3)，可得PH=，NH=2，最后PN=.

解：(1)∵y=﹣x+b交x軸于點A(8，0)，

∴0=﹣×8+b，b=6，

∴直線AB解析式為y=﹣x+6，令x=0，y=6，B(0，6)；

(2)∵A(8，0)，B(0，6)，

∴OA=8，OB=6，

∵∠AOB=90°，

∴AB=10=BC，

∴OC=4，

∴點C(0，﹣4)，設(shè)直線AC解析式為y=kx+b’，

∴，

∴,

∴直線AC解析式為y=x﹣4，

∵P在直線y=﹣x+6上，

∴可設(shè)點P(t，﹣t+6)，

∵PQ∥y軸，且點Q在y=x﹣4 上，

∴Q(t， t﹣4)，

∴d=(﹣t+6)﹣(t﹣4)=﹣t+10；

(3)過點M作MG⊥PQ于G，

∴∠QGM=90°=∠COA，

∵PQ∥y軸，

∴∠OCA=∠GQM，

∵CQ=AM，

∴AC=QM，在△OAC與△GMQ中，

，

∴△OAC≌△GMQ，

∴QG=OC=4，GM=OA=8，過點N作NH⊥PQ于H，過點M作MR⊥NH于點R，

∴∠MGH=∠RHG=∠MRH=90°，

∴四邊形GHRM是矩形，

∴HR=GM=8，可設(shè)GH=RM=k，

∵△MNQ是等腰直角三角形，

∴∠QMN=90°，NQ=NM，

∴∠HNQ+∠HQN=90°，

∴∠HNQ+∠RNM=90°，

∴∠RNM=∠HQN，

∴△HNQ≌△RMN，

∴HN=RM=k，NR=QH=4+k，

∵HR=HN+NR，

∴k+4+k=8，

∴k=2，

∴GH=NH=RM=2，

∴HQ=6，

∵Q(t，t﹣4)，

∴N(t+2，t﹣4+6)即 N(t+2，t+2)

∵N在直線AB：y=﹣x+6上，

∴t+2=﹣(t+2)+6，

∴t=2，

∴P(2，)，N(4，3)，

∴PH=，NH=2，

∴PN=

=.