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        1. 【題目】如圖,已知正方形ABCD,將一塊等腰直角三角板的銳角頂點(diǎn)與A重合,并將三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn),如圖1,使它的斜邊與BD交于點(diǎn)H,一條直角邊與CD交于點(diǎn)G.

          (1)請適當(dāng)添加輔助線,通過三角形相似,求出的值;

          (2)連接GH,判斷GH與AF的位置關(guān)系,并證明;

          (3)如圖2,將三角板旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)F恰好在DC的延長線上時(shí),若AD=,AF=.求DG的長.

          【答案】(1);(2)GHAF,理由見解析;(3)

          【解析】試題分析:(1)連接AC,利用等量代換,求出∠BAH=∠GAC,再加上45的角,即可求出△BAH∽△CAG,進(jìn)而得出結(jié)論;(2)先回答位置關(guān)系GHAF,再證明,利用(1)問的結(jié)論,利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等得出△HAG∽△EAF,得出比例式即可;(3)判斷出△AGD∽△FGE,得出,設(shè)出未知數(shù),求出AG、EG的長度,利用相似即可求出DG的長度.

          試題解析:

          (1)連接AC

          ∵四邊形ABCD是正方形

          ∴∠BAC=∠ABH=∠ABH=45,

          又∵△AEF是等腰直角三角形

          ∴∠EAH=45

          ∴∠BAH+EAC=∠FAC+∠EAC=45

          ∴∠BAH=∠GAC

          ∴△BAH∽△CAG.

          (2)GHAF,理由如下:

          ∵在Rt△AEF中,

          又∵∠HAG=∠EAF

          ∴△HAG∽△EAF.

          ∴∠AHG=∠E=90

          GHAF..

          (3)∵在Rt△AGH中,

          AG=GH

          又∵∠ADG=∠E=90,∠AGD=∠FGE

          ∴△AGD∽△FGE

          .

          又∵在Rt△AEF中,AF=

          EF=5

          ∴可設(shè)GH,則

          AF=AH+FH=

          AG=GH

          又∵

          DG=

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          ②等弧所對的圓周角相等;

          ③三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等;

          ④在同圓中,平分弦的直徑一定垂直于這條弦.

          其中正確的有()

          A.0B.1C.2D.3

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