Question

【題目】已知菱形ABCD的兩條對角線長分別為6和8，M,N分別為BC,CD的中點(diǎn)，若P為對角線BD上的一點(diǎn)，則PM+PN的最小值是_______．

Answer 1

【答案】5

【解析】作M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，

即Q在AB上，

∵MQ⊥BD，

∴AC∥MQ，

∵M為BC中點(diǎn)，

∴Q為AB中點(diǎn)，

∵N為CD中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，

∴BQ∥CD，BQ=CN，

∴四邊形BQNC是平行四邊形，

∴NQ=BC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴CP=AC=3,BP=BD=4，

在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，

即NQ=5，

∴MP+NP=QP+NP=QN=5，

故答案為：5.