Question

已知如圖平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形ABCD是頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．點(diǎn)D在y軸上，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣5），點(diǎn)P是直線AC上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求直線DP的解析式（關(guān)系式）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D、P的直線與x軸交于點(diǎn)M．問(wèn)在x軸的正半軸上是否存在使△DOM與△ABC相似的點(diǎn)M？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P沿直線AC移動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、R（R＞0）為半徑長(zhǎng)畫圓．得到的圓稱為動(dòng)圓P．若設(shè)動(dòng)圓P的半徑長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)D作動(dòng)圓P的兩條切線與動(dòng)圓P分別相切于點(diǎn)E、F．請(qǐng)?zhí)角笤趧?dòng)圓P中是否存在面積最小的四邊形DEPF？若存在，請(qǐng)求出最小面積S的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）y=x﹣5
（2）M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）
（3）存在，

試題分析：（1）只需先求出AC中點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線DP的解析式．
（2）由于△DOM與△ABC相似，對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，可分兩種情況進(jìn)行討論，利用三角形相似求出OM的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）易證S_△PED=S_△PFD．從而有S_{四邊形DEPF}=2S_△PED=DE．由∠DEP=90°得DE²=DP²﹣PE²=DP²﹣．根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短，此時(shí)DE也最短，對(duì)應(yīng)的四邊形DEPF的面積最�。�借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC時(shí)DP的值，就可求出四邊形DEPF面積的最小值．
解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PH∥OA，交OC于點(diǎn)H，如圖1所示．
∵PH∥OA，
∴△CHP∽△COA．
∴==．
∵點(diǎn)P是AC中點(diǎn)，
∴CP=CA．
∴HP=OA，CH=CO．
∵A（3，0）、C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∴HP=，CH=2．
∴OH=2．
∵PH∥OA，∠COA=90°，
∴∠CHP=∠COA=90°．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）．
設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b，
∵D（0，﹣5），P（，2）在直線DP上，
∴
∴
∴直線DP的解析式為y=x﹣5．
（2）①若△DOM∽△ABC，圖2（1）所示，
∵△DOM∽△ABC，
∴=．
∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0．﹣5），
∴BC=3，AB=4，OD=5．
∴=．
∴OM=．
∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）
②若△DOM∽△CBA，如圖2（2）所示，
∵△DOM∽△CBA，
∴=．
∵BC=3，AB=4，OD=5，
∴=．
∴OM=．
∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）．
綜上所述：若△DOM與△CBA相似，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）．
（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=5．
∴PE=PF=AC=．
∵DE、DF都與⊙P相切，
∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．
∴S_△PED=S_△PFD．
∴S_{四邊形DEPF}=2S_△PED=2×PE•DE=PE•DE=DE．
∵∠DEP=90°，
∴DE²=DP²﹣PE²．=DP²﹣．
根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：
當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短，
此時(shí)DE取到最小值，四邊形DEPF的面積最�。�
∵DP⊥AC，
∴∠DPC=90°．
∴∠AOC=∠DPC．
∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，
∴△AOC∽△DPC．
∴=．
∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，
∴=．
∴DP=．
∴DE²=DP²﹣=（）²﹣=．
∴DE=，
∴S_{四邊形DEPF}=DE=．
∴四邊形DEPF面積的最小值為．