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        1. (1)請閱讀材料并填空:
          問題:如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,且PA=2,PB=
          3
          ,PC=1.求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長.
          李明同學(xué)的思路是:將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(如圖2).連接PP′.
          根據(jù)李明同學(xué)的思路,進一步思考后可求得∠BPC=
           
          °,等邊△ABC的邊長為
           

          (2)請你參考李明同學(xué)的思路,探究并解決下列問題:如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一點P,且PA=
          5
          ,BP=
          2
          ,PC=1.求∠BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長.
          精英家教網(wǎng)
          分析:根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出AP′=CP=1,BP′=BP=
          3
          ,∠PBC=∠P′BA,∠AP′B=∠BPC,求出∠ABP′+∠ABP=60°,得到等邊△BPP′,推出PP′=
          3
          ,∠BP′P=60°,求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC;過點B作BM⊥AP′,交AP′的延長線于點M,由∠MP′B=30°,求出BM=
          3
          2
          ,P′M=
          3
          2
          ,根據(jù)勾股定理即可求出答案;
          (2)求出∠BEP=
          1
          2
          (180°-90°)=45°,根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°,推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°;過點B作BF⊥AE,交AE的延長線于點F,求出FE=BF=1,AF=2,關(guān)鍵勾股定理即可求出AB.
          解答:(1)解:∵等邊△ABC,
          ∴∠ABC=60°,
          將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得出△ABP′,
          ∴AP′=CP=1,BP′=BP=
          3
          ,∠PBC=∠P′BA,∠AP′B=∠BPC,
          ∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,
          ∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°,
          ∴△BPP′是等邊三角形,
          ∴PP′=
          3
          ,∠BP′P=60°,
          ∵AP′=1,AP=2,
          ∴AP′2+PP′2=AP2,
          ∴∠AP′P=90°,
          ∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°,
          過點B作BM⊥AP′,交AP′的延長線于點M,
          ∴∠MP′B=30°,BM=
          3
          2
          ,
          由勾股定理得:P′M=
          3
          2

          ∴AM=1+
          3
          2
          =
          5
          2
          ,
          由勾股定理得:AB=
          AM2+BM2
          =
          7
          ,
          過答案為:150°,
          7

          精英家教網(wǎng)
          (2)解:將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB,
          與(1)類似:可得:AE=PC=1,BE=BP=
          2
          ,∠BPC=∠AEB,∠ABE=∠PBC,
          ∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°,
          ∴∠BEP=
          1
          2
          (180°-90°)=45°,
          由勾股定理得:EP=2,
          ∵AE=1,AP=
          5
          ,EP=2,
          ∴AE2+PE2=AP2,
          ∴∠AEP=90°,
          ∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°,
          過點B作BF⊥AE,交AE的延長線于點F;
          ∴∠FEB=45°,
          ∴FE=BF=1,
          ∴AF=2;
          ∴在Rt△ABF中,由勾股定理,得AB=
          5
          ;
          ∴∠BPC=135°,正方形邊長為
          5

          答:∠BPC的度數(shù)是135°,正方形ABCD的邊長是
          5
          點評:本題主要考查對勾股定理及逆定理,等邊三角形的性質(zhì)和判定,等腰三角形的性質(zhì),含30度角的 直角三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握,正確作輔助線并能根據(jù)性質(zhì)進行證明是解此題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

          請閱讀下面材料,并回答所提出的問題.
          三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理:三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例.
          已知:如圖,△ABC中,AD是角平分線.
          求證:
          BD
          DC
          =
          AB
          AC

          分析:要證
          BD
          DC
          =
          AB
          AC
          ,一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在三角形相似.現(xiàn)在B、D、C在一直線上,△ABD與△ADC不相似,需要考慮用別的方法換比.在比例式
          BD
          DC
          =
          AB
          AC
          中,AC恰是BD、DC、AB的第四比例項,所以考慮過C作C精英家教網(wǎng)E∥AD,交BA的延長線于E,從而得到BD、DC、AB的第四比例項AE,這樣,證明
          BD
          DC
          =
          AB
          AC
          就可以轉(zhuǎn)化成證AE=AC.
          證明:過C作CE∥DA,交BA的延長線于E.
          CE∥DA?
          ∠1=∠E
          ∠2=∠3
          ∠1=∠2
          ?∠E=∠3?AE=AC

          CE∥DA?
          BD
          DC
          =
          BA
          AE
          AE=AC
          ?
          BD
          DC
          =
          AB
          AC

          (1)上述證明過程中,用到了哪些定理?(寫對兩個定理即可)
          (2)在上述分析、證明過程中,主要用到了下列三種數(shù)學(xué)思想的哪一種?選出一個填在后面的括號內(nèi).精英家教網(wǎng)[]
          ①數(shù)形結(jié)合思想;
          ②轉(zhuǎn)化思想;
          ③分類討論思想.
          (3)用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解答問題:
          已知:如圖,△ABC中,AD是角平分線,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm.求BD的長.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

          (2012•房山區(qū)二模)(1)閱讀下面材料并完成問題:
          已知:直線AD與△ABC的邊BC交于點D,
          ①圖1,當(dāng)BD=DC時,則S△ABD
          =
          =
          S△ADC.(填“=”或“<”或“>”)

          ②如圖2,當(dāng)BD=
          1
          2
          DC時,則S△ABD=
          1
          2
          1
          2
          S△ADC
          ③如圖3,若AD∥BC,則有S△ABC
          =
          =
          S△DBC.(填“=”或“<”或“>”)
          (2)請你根據(jù)上述材料提供的信息,解決下列問題:
          過四邊形ABCD的一個頂點畫一條直線,把四邊形ABCD的面積分成1:2的兩部分.(保留畫圖痕跡)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012屆浙江省衢州華茂外國語學(xué)校九年級上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題

          閱讀材料,解答問題.
          例 如圖,在△中,∠,∠,利用此等腰直角三角形你能求出的值嗎?

          解:延長到點,使,連結(jié)
          設(shè)).
          ∵在△中,∠,∠
          ∴∠
          ,


          (1)仿照上例,求出的值;
          (2)在一次課外活動中,小劉從上例得到啟發(fā),用硬紙片做了兩個直角三角形,如圖1、圖2.圖1中,∠,∠;圖2中,∠,∠,.圖3是小劉所做的一個實驗:他將△的直角邊與△的斜邊重合在一起,并將△沿方向移動.在移動過程中,、兩點始終在邊上(移動開始時點與點重合).
          ①在△沿方向移動的過程中,∠的度數(shù)逐漸__________.(填“不變”、“變大”、“變小”)
          ②在△移動過程中,是否存在某個位置,使得∠?如果存在,求出的長度;如果不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省九年級上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          閱讀材料,解答問題.

          例  如圖,在△中,∠,∠,利用此等腰直角三角形你能求出的值嗎?

          解:延長到點,使,連結(jié)

          設(shè)).

          ∵在△中,∠,∠

          ∴∠

          ,

          (1)仿照上例,求出的值;

          (2)在一次課外活動中,小劉從上例得到啟發(fā),用硬紙片做了兩個直角三角形,如圖1、圖2.圖1中,∠,∠,;圖2中,∠,∠,.圖3是小劉所做的一個實驗:他將△的直角邊與△的斜邊重合在一起,并將△沿方向移動.在移動過程中,、兩點始終在邊上(移動開始時點與點重合).

          ①在△沿方向移動的過程中,∠的度數(shù)逐漸__________.(填“不變”、“變大”、“變小”)

          ②在△移動過程中,是否存在某個位置,使得∠?如果存在,求出的長度;如果不存在,請說明理由.

           

           

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2000年山西省中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          (2000•山西)請閱讀下面材料,并回答所提出的問題.
          三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理:三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例.
          已知:如圖,△ABC中,AD是角平分線.
          求證:
          分析:要證,一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在三角形相似.現(xiàn)在B、D、C在一直線上,△ABD與△ADC不相似,需要考慮用別的方法換比.在比例式中,AC恰是BD、DC、AB的第四比例項,所以考慮過C作CE∥AD,交BA的延長線于E,從而得到BD、DC、AB的第四比例項AE,這樣,證明就可以轉(zhuǎn)化成證AE=AC.
          證明:過C作CE∥DA,交BA的延長線于E.
          CE∥DA
          CE∥DA
          (1)上述證明過程中,用到了哪些定理?(寫對兩個定理即可)
          (2)在上述分析、證明過程中,主要用到了下列三種數(shù)學(xué)思想的哪一種?選出一個填在后面的括號內(nèi).[]
          ①數(shù)形結(jié)合思想;
          ②轉(zhuǎn)化思想;
          ③分類討論思想.
          (3)用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解答問題:
          已知:如圖,△ABC中,AD是角平分線,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm.求BD的長.

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          同步練習(xí)冊答案