Question

【題目】如圖，在中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn).

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，，求四邊形的周長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）8.

【解析】

（1）由三角形中位線定理可得BC＝2DE，DE∥BC，且FG∥AB，可證四邊形BDFG是平行四邊形，由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得DF＝DB，即可得四邊形BDFG是菱形；

（2）由菱形的性質(zhì)可得DF＝BG＝GF＝BD，由BC＝2DE，可求BG的長(zhǎng)，即可求四邊形BDFG的周長(zhǎng)．

證明：（1）∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

∴BC＝2DE，DE∥BC，且FG∥AB，

∴四邊形BDFG是平行四邊形，

∵BF平分∠ABC，

∴∠DBF＝∠GBF，

∵DE∥BC，

∴∠GBF＝∠DFB，

∴∠DFB＝∠DBF，

∴DF＝DB，

∴四邊形BDFG是菱形；

（2）∵四邊形BDFG是菱形；

∴DF＝BG＝GF＝BD

∵BC＝2DE

∴BG＋4＝2（BG＋1）

∴BG＝2，

∴四邊形BDFG的周長(zhǎng)＝4×2＝8