Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿折線A﹣B﹣C﹣A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（t＞0）秒．

（1）AC＝　 　cm；

（2）若點(diǎn)P恰好在∠ABC的角平分線上，求此時(shí)t的值；

（3）在運(yùn)動過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，△ACP為等腰三角形（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）3；（2）t的值為或5s；（3）當(dāng)t＝或3或或6s時(shí)，△ACP為等腰三角形．

【解析】

（1）利用勾股定理求解即可；（2）作∠ABC的平分線與AC的交點(diǎn)確定點(diǎn)P，利用全等得PC=PD，再用勾股定理求得PC的長，點(diǎn)P的運(yùn)動路線長即可求出，由此解得t值（3）分四種情況，找到P點(diǎn)，即可求出t的值.

解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=4cm，

∴AC==3cm.

（2）如圖，過P作PD⊥AB于D，

∵BP平分∠ABC，∠C＝90°，

∴PD＝PC，

又∵BP=BP,

∴Rt△BDP≌Rt△BCP，

∴BD＝BC＝4，

∴AD＝5﹣4＝1，

設(shè)PD＝PC＝y，則AP＝3﹣y，

在Rt△ADP中，AD2+PD2＝AP2，

∴12+y2＝（3﹣y）2，

解得y＝，

∴CP＝，

∴t＝5+4+=；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P也在∠ABC的角平分線上，

此時(shí)，t=5；

綜上所述，點(diǎn)P恰好在∠ABC的角平分線上，t的值為或5s；

（3）分四種情況：

①如圖①，當(dāng)AP=CP時(shí)，則∠A=∠ACP,

∵∠A+∠B=900，∠ACP+∠BCP=900，

∴∠B=∠BCP

∴BP=CP=AP

∴AP=

∴ t＝；

②如圖②，當(dāng)AP=AC=3時(shí)，t＝3；

③當(dāng)PC=AC=3時(shí)，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，

∵S△ABC==ABCD

∴5CD=12,

∴CD=,

∴PD=AD=

∴AP=

∴t=；

④當(dāng)PC=AC=3時(shí)，BP=4-3=1，則AB+BP=5+1=6，∴t＝6．

綜上所述，當(dāng)t＝或3或或6s時(shí)，△ACP為等腰三角形．