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        1. 【題目】綜合與實踐:

          問題情境:

          在數(shù)學綜合與實踐課上,張老師啟示大家利用直線、線段以及點的運動變換進行探究活動.變換條件如下:如圖 1,直線 AB,ACBC 兩兩相交于 A,BC 三點,得知△ABC是等邊三角形,點 E 是直線 AC 上一動點(點 E 不與點 A,C 重合),點 F 在直線 BC上,連接 BEEF,使 EF=BE

          獨立思考:

          1)張老師首先提出了這樣一個問題:如圖 1,當E是線段 AC 的中點時,確定線段 AE CF 的數(shù)量關(guān)系,請你直接寫出結(jié)論:AE____ CF(填“>” “<”或“=”).

          提出問題:

          2)“奮斗”小組受此問題的啟發(fā),提出問題:若點E是線段 AC 上的任意一點,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否成立?該小組認為結(jié)論仍然成立,理由如下:如圖 2,過點 E EDBC,交 AB 于點 D. (請你補充完整證明過程)

          拓展延伸:

          3)“縝密”小組提出的問題是:動點E的運動位置如圖3,圖4所示,其他條件不變,根據(jù)題意補全圖形,并判斷線段AECF的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化? 請你選擇其中一種予以證明.

          4)“愛心”小組提出的問題是:若等邊△ABC 的邊長為 ,AE=1,則BF 的長為__________.(請你直接寫出結(jié)果).

          【答案】1)=;(2)見解析;(3)沒有發(fā)生變化;證明見解析;(4

          【解析】

          1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和三線合一得到AE=CE,∠EBC=30°,∠ECB=60°,根據(jù)等邊對等角可知∠EFC=EBC=30°,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠ECB=EFC+FEC,進而求出∠FEC,根據(jù)等角對等邊得到CE=CF,再利用等量代換即可解決問題.

          2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到△ADE是等邊三角形,進而可知BD=CE,根據(jù)等邊對等角可知∠EFC=EBC,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠EFC+CEF=60°,結(jié)合∠DBE+EBC=60°,進而證得∠DBE=CEF,利用SAS證得△DBE≌△CEF,利用全等三角形的性質(zhì)得到CF=DE,即可得證;

          3)作出圖3,過點EEDAB,交BF于點D,同(2)中方法證明△BED≌△FEC,即可得證;作出圖4,過點EEDBC,交BA于點D,同(2)中方法證明△BED≌△EFC,即可得證;

          4)根據(jù)前面的證明可知,當點EAC延長線上時,BF=BC+CF;當點EAC上時,BF=BC+CF;當點ECA延長線上時,BF=BC-CF;再結(jié)合CF=AE即可求得BF.

          1AE=CF

          證明:如圖1,∵△ABC是等邊三角形,點EAC中點

          AE=CE,∠EBC=30°,∠ECB=60°

          EF=BE

          ∴∠EFC=EBC=30°

          ∵∠ECB=EFC+FEC

          ∴∠FEC=30°

          CE=CF

          AE=CF

          故答案為:=

          2

          該結(jié)論論仍然成立,理由如下:如圖 2,過點 E EDBC,交 AB 于點 D.

          ∵△ABC是等邊三角形,

          ∴∠ACB=ABC=BAC=60°,AB=AC=BC

          EDBC

          ∴∠ADE=AED=60°

          ∴△ADE是等邊三角形

          AD=AE=DE

          AB-AD=AC-AE,即BD=CE

          BE=EF

          ∴∠EBC=EFC

          ∵∠DBE+EBC=60°

          EFC+CEF=60°

          ∴∠DBE=CEF

          ∴△DBE≌△CEFSAS

          CF=DE

          CF=AE

          3)如圖3所示

          線段AECF的數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化,

          證明:過點EEDAB,交BF于點D

          ∵△ABC是等邊三角形,

          ∴∠ACB=ABC=BAC=60°,AB=AC=BC

          EDAB,

          ∴∠AED=BAC=60°,∠CDE=ABC=60°

          ∴△ADE是等邊三角形

          CD=DE=CE

          AB-AD=AC-AE,即BD=CE

          BE=EF

          ∴∠EBC=DFE

          ∵∠CBE+CEB=ACB=60°

          DEF+DFE=CDE=60°

          ∴∠BEC=DEF

          ∴∠BEC+CED=DEF+CED

          即∠BED=CEF

          ∴△BED≌△FECSAS

          BD=CF

          BD=BC+CD=AC+CE=AE

          CF=AE

          如圖4所示,

          線段AECF的數(shù)量關(guān)系沒有發(fā)生變化,

          證明:過點EEDBC,交BA于點D

          ∵△ABC是等邊三角形,

          ∴∠ACB=ABC=BAC=60°,AB=AC=BC

          EDBC,

          ∴∠AED=ACB=60°,∠EDA=ABC=60°

          ∴△ADE是等邊三角形

          AE=ED=AD

          AB+AD=AC+AE,即BD=CE

          BE=EF

          ∴∠EBC=EFB

          ∵∠EBA+ABC=EBC

          FEC+ACB=EFB

          ∴∠EBA=FEC

          ∴△BED≌△EFCSAS

          ED=FC

          CF=AE

          4)當點EAC延長線上時,

          BF=BC+CFCF=AE

          BF=BC+AE=

          當點EAC上時,

          BF=BC+CFCF=AE

          BF=BC+AE=

          當點ECA延長線上時,

          BF=BC-CF,CF=AE

          BF=BC-AE=

          綜上所述,BF=

          故答案為:

          練習冊系列答案
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          【題目】ABC中,ADBC于點D,BE是∠ABC的平分線,已知∠ABC=40°,C=60°,求∠AOB的度數(shù).

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          1)在這次調(diào)查中,喜歡籃球項目的同學有   人,在扇形統(tǒng)計圖中,乒乓球的百分比為   %,如果學校有800名學生,估計全校學生中有   人喜歡籃球項目.

          2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整.

          3)在被調(diào)查的學生中,喜歡籃球的有2名女同學,其余為男同學.現(xiàn)要從中隨機抽取2名同學代表班級參加校籃球隊,請直接寫出所抽取的2名同學恰好是1名女同學和1名男同學的概率.

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          1)若BCDE的同側(cè)(如圖所示),且AD=CE求證:

          2)若B、C在的兩側(cè)(如圖所示 ),其他條件不變,ABAC仍垂直嗎?若是請給出證明;若不是,請說明理由.

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          【題目】某校組織一項公益知識競賽,比賽規(guī)定:每個班級由2名男生、2名女生及1名班主任老師組成代表隊.但參賽時,每班只能有3名隊員上場參賽,班主任老師必須參加,另外2名隊員分別在2名男生和2名女生中各隨機抽出1名.初三(1)班由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生及1名班主任組成了代表隊,求恰好抽到由男生甲、女生丙和這位班主任一起上場參賽的概率.(請用畫樹狀圖列表列舉等方法給出分析過程)

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          【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,ABC=30°,CDE是等邊三角形,點D在邊AB上.

          (1)如圖1,當點E在邊BC上時,求證DE=EB;

          (2)如圖2,當點E在△ABC內(nèi)部時,猜想EDEB數(shù)量關(guān)系,并加以證明;

          (3)如圖3,當點E在△ABC外部時,EHAB于點H,過點EGEAB,交線段AC的延長線于點G,AG=5CG,BH=3.求CG的長.

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          1AC   cm;

          2)若點P恰好在∠ABC的角平分線上,求此時t的值;

          3)在運動過程中,當t為何值時,△ACP為等腰三角形(直接寫出結(jié)果)

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