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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖1,已知是等邊三角形,點E在線段AB上,點D在直線BC上,且,將繞點C順時針旋轉,連接EF.

          1)證明:;

          2)如圖2,如果點E在線段AB的延長線上,其他條件不變,請你寫出線段AB、DB、AF之間的數量關系,并證明你的結論;

          3)如果點E在線段BA的延長線上,其他條件不變,請在圖3的基礎上將圖形補充完整,并寫出AB、DB、AF之間的數量關系,不必證明.

          【答案】1)見解析;(2ABBDAF,證明見解析;(3)補充圖形見解析,AB,DBAF之間的數量關系是:AFAB+BD

          【解析】

          1)過點EEGBCAC于點G,可得△AEG為等邊三角形,進而可得BE=CG,易證∠BED=∠GCE,再根據SAS可證△BDE≌△GEC,可得BDEGAE,進一步即得結論;

          2)結論:ABBDAF;如圖2,延長EFCA交于點G,先由旋轉的性質證得△CEF是等邊三角形,進而可推得EDEF,然后利用三角形的外角性質可推得∠FCG=∠FEA,進而可得∠D=∠FEA,易證∠DBE=∠FAE60°,于是根據AAS可證△EDB≌△FEA,可得BDAE,進一步根據等線段代換即可證得結論;

          3AB,DB,AF之間的數量關系是:AFAB+BD.如圖3中,先根據旋轉的性質判斷△CEF是等邊三角形,可得EFEC,進而可得EDEF,然后根據三角形的外角性質和角度之間的關系可得∠BDE=∠AEF,易證∠B=∠EAF60°,于是根據AAS可證△EDB≌△FEA,可得BDAE,EBAF,進一步即可證得結論.

          解:(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠BCA60°,

          ∵△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF,∴BEAF,

          如圖1,過點EEGBCAC于點G,則△AEG為等邊三角形,∴AE=AG=EG,∴BE=CG,

          DECE,∴∠CDE=∠ECD,

          又∵∠CDE+BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+GCE,

          ∴∠BED=∠GCE

          在△BDE和△GEC中,

          ,

          ∴△BDE≌△GECSAS),

          BDEGAE

          又∵AFBE,

          ABBE+AEAF+BD;

          2)結論:ABBDAF;

          理由:如圖2,延長EF、CA交于點G

          ∵△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF,

          ∴∠ECF60°,BEAF,ECCF

          ∴△CEF是等邊三角形,∴EFEC

          又∵EDEC,∴EDEF,∠EFC=∠BAC60°,

          ∵∠EFC=∠G+FCG,∠BAC=∠G+FEA,

          ∴∠FCG=∠FEA

          ∵∠FCG=∠ECD,∠D=∠ECD,

          ∴∠D=∠FEA

          由旋轉的性質得:∠CBE=∠CAF120°,又∵∠BAC=60°,

          ∴∠DBE=∠FAE60°,

          在△EDB和△FEA中,

          ∴△EDB≌△FEAAAS),

          BDAE,EBAF,

          AE=AB+BE

          BDFA+AB,

          ABBDAF;

          3)如圖3中,AB,DB,AF之間的數量關系是:AFAB+BD

          ∵△BCE繞點C順時針旋轉60°至△ACF

          ∴∠ECF60°,BEAF,ECCF,∴△CEF是等邊三角形,∴EFEC,

          又∵EDEC,∴EDEF,

          ∵△ABC是等邊三角形,

          ∴∠B=∠BAC60°,

          又∵∠B=∠CAF,∴∠CAF60°,

          ∴∠EAF180°﹣∠CAF﹣∠BAC180°60°60°60°

          ∴∠B=∠EAF;

          EDEC,∴∠ECD=∠EDC,

          ∴∠BDE=∠ECD+DEC=∠EDC+DEC,

          又∵∠EDC=∠B+BED,

          ∴∠BDE=∠B+BED+DEC60°+BEC,

          ∵∠AEF=∠CEF+BEC60°+BEC

          ∴∠BDE=∠AEF,

          在△EDB和△FEA中, ,

          ∴△EDB≌△FEAAAS),

          BDAEEBAF,

          BEAB+AE

          AFAB+BD,

          ABDB,AF之間的數量關系是:AFAB+BD

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