Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），DP交AC于點(diǎn)Q．

（1）求證：△APQ∽△CDQ；

（2）當(dāng)PD⊥AC時(shí)，求線段PA的長(zhǎng)度；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上時(shí)，求sin∠CPB的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AP=；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理證明即可；

（2）根據(jù)垂直的定義、相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；

（3）連接PC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PC=PA，設(shè)PA=x，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，

∴∠QAP=∠QCD，∠QPA=∠QDC，

∴△APQ∽△CDQ；

（2）解：∵PD⊥AC，

∴∠QDC+∠QCD=90°，又∠QDC+∠QDA=90°，

∴∠QCD=∠QDA，又∠DAP=∠CDA=90°，

∴△DAP∽△CDA，

∴=，即=，

解得，AP=；

（3）解：連接PC，

∵點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上，

∴PC=PA，

設(shè)PA=x，則PC=x，PB=10﹣x，

由勾股定理得，PC2=PB2+BC2，即x2=（10﹣x）2+25，

解得，x=，

∴PC=PA=，

∴sin∠CPB==．