Question

【題目】如圖，已知等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，CA=CB，以BC為邊向外作等邊△CBA，連接AD，過點C作∠ACB的角平分線與AD交于點E，連接BE．

（1）若AE=2，求CE的長度；
（2）以AB為邊向下作△AFB，∠AFB=60°，連接FE，求證：FA+FB= FE．

Answer 1

【答案】
（1）解：延長CE交AB于G，

∵△BAC是等腰直角三角形，CE平分∠ACB，

∴CG⊥AB，

∴∠AGC=90°，

∵CA=CB，∠ACB=90°，

∴∠CAB=45°，

∴△CAG是等腰直角三角形，

∵△BCD是等邊三角形，

∴BC=CD=AC，∠BCD=60°，

∴∠CAD=∠CDA，

∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=150°，

∴∠CAD=∠CDA=15°，

∴∠EAB=∠CAB﹣∠CAD=30°，

在Rt△AEG中，∠EAG=30°，AE=2，

∴AE= ，EG=1，

∵CG=AG= ，

∴CE=CG﹣EG= ﹣1．

（2）解：延長FB到H，使得BH=AF，連接EH．作EI⊥BF于I．

由（1）可知：AC=BC，CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∵CE=CE，

∴△ACE≌△BCE，

∴AE=BE，

∴∠EAB=∠EBC=30°，

在△AFB中，∠AFB=60°，

∴∠FAB+∠FBA=120°，

∴∠FAE=∠EAB+∠FAB=30°+∠FAB，

∠EBH=180°﹣∠EBA﹣∠ABF=150°﹣（120°﹣∠ABF）=30°+∠FAB，

∴∠EBH=∠FAE，

∴△AFE≌△BHE，

∴∠AFE=∠BHE，EF=EH，

∴∠EFB=∠EBH=∠AFE=30°，

∵EI⊥FH，

∴EI=IH，

在Rt△FEI中，∠EFI=30°，

∴FI= FE，

∴FH=BH+FB= FE，

∴FA+FB= FE．

【解析】（1）延長CE交AB于G，首先判斷出△CAG是等腰直角三角形，然后找到∠EAB=∠CAB﹣∠CAD=30°，分別求出CG,EG即可解決問題；
（2）延長FB到H，使得BH=AF，連接EH．作EI⊥BF于I．由△ACE≌△BCE，推出AE=BE，推出∠EAB=∠EBC=30°，由△AFE≌△BHE，推出∠AFE=∠BHE，EF=EH，可得∠EFB=∠EBH=∠AFE=30°，又EI⊥FH，故在Rt△FEI中，∠EFI=30°，從而得出FI= FE，可得FA+FB= FE．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能正確解答此題．