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        1. 【題目】拋物線x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.

          (1)寫出拋物線的對(duì)稱軸及C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示)

          (2)連接BD并以BD為直徑作⊙M,當(dāng)a=-1時(shí),請(qǐng)判斷⊙M是否經(jīng)過點(diǎn)C,并說明理由;

          (3)在(2)題的條件下,點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn),過P作直線垂直于對(duì)稱軸,垂足為Q. 那么是否存在這樣的點(diǎn)P,使△PQD與以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

          【答案】

          1 1)過點(diǎn)CCH⊥軸,垂足為H

          Rt△OAB中,∠OAB900,∠BOA300AB2 ∴OB4,OA

          由折疊知,∠COB300,OCOA

          ∴∠COH600,OH,CH3 ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(,3

          2 2拋物線≠0)經(jīng)過C,3)、A0)兩點(diǎn)

          解得:

          此拋物線的解析式為:

          3 3)存在. 因?yàn)?/span>的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,3)即為點(diǎn)C,MP⊥軸,設(shè)垂足為N,PN,因?yàn)?/span>∠BOA300,所以ON∴P,

          PQ⊥CD,垂足為Q,ME⊥CD,垂足為E

          代入得:

          ∴ M),E,

          同理:Q,),D,1

          要使四邊形CDPM為等腰梯形,只需CEQD

          ,解得:,(舍)

          ∴ P點(diǎn)坐標(biāo)為(,

          存在滿足條件的點(diǎn)P,使得四邊形CDPM為等腰梯形,此時(shí)P點(diǎn)的坐為(,) (12分)

          【解析】

          1)由拋物線y=ax2+2x+3a0)交x軸于AB兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程與頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法即可求得對(duì)稱軸及D點(diǎn)的坐標(biāo),又由當(dāng)x=0時(shí),y=3,求得C點(diǎn)的坐標(biāo);

          2)首先求得點(diǎn)B,CD的坐標(biāo),然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,求得BC,CD,BD的平方的值,即可得CD2+BC2=DB2,由勾股定理的逆定理,可求得∠DCB=90°,又由直徑所對(duì)的圓周角是直角,可得⊙M是經(jīng)過點(diǎn)C;

          3)首先求得CDBC,的長(zhǎng),然后分別從若點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè),且△PQD∽△DCB,若點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè),且△PQD∽△BCD,若點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè),且△PQD∽△DCB,若點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè),且△PQD∽△BCD去分析,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,求得方程,解方程即可求得答案.

          解:(1拋物線y=ax2+2x+3a0)交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D

          對(duì)稱軸為:x=-

          當(dāng)x=0時(shí),y=3,

          ∴C的坐標(biāo)為:(0,3),

          ∵D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為:y=,

          D點(diǎn)的坐標(biāo)為:(-,);3分)

          2⊙M經(jīng)過點(diǎn)C

          理由:連接BC,

          ∵a=-1,

          拋物線為:y=-x2+2x+3

          點(diǎn)D1,4),點(diǎn)B3,0),點(diǎn)C0,3),

          ∴CD2=2,BD2=20,BC2=18

          ∴CD2+BC2=DB2,

          ∴∠DCB=90°,

          ∵BD是直徑,

          ∴∠BCD是直徑所對(duì)的圓周角,

          ∴⊙M是經(jīng)過點(diǎn)C;(3分)

          3)存在. 因?yàn)?/span>的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,3)即為點(diǎn)C,MP⊥軸,設(shè)垂足為N,PN,因?yàn)?/span>∠BOA300,所以ON, ∴P

          PQ⊥CD,垂足為Q,ME⊥CD,垂足為E

          代入得:

          ∴ M,),E,

          同理:Q,),D,1

          要使四邊形CDPM為等腰梯形,只需CEQD

          ,解得:(舍)

          ∴ P點(diǎn)坐標(biāo)為(,

          存在滿足條件的點(diǎn)P,使得四邊形CDPM為等腰梯形,此時(shí)P點(diǎn)的坐為() (12分)

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          ①求證:PE=DF

          ②求AP的長(zhǎng).

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          (1)求證:BNDM

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          3)在軸上是否存在點(diǎn),使以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為10,若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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