Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中點(diǎn)，CE⊥BD

（1）求證：△ABD≌△BCE．

（2）求證：AC是線(xiàn)段ED的垂直平分線(xiàn)．

（3）△DBC是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）△DBC是等腰三角形，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）如圖，根據(jù)垂直關(guān)系可得∠1＝∠2，再根據(jù)ASA即可證明△BAD≌△CBE；（2）由（1）得AD＝AE，再求得∠6=∠7=45°，即可得證；（3）由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)知CD＝CE，由（1）得CE＝BD，故△DBC是等腰三角形.

解：（1）如圖證明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，

∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，

∴∠1＝∠2，

在△BAD和△CBE中，

，

∴△BAD≌△CBE（ASA），

（2）證明：∵E是AB中點(diǎn)，

∴EB＝EA，

∵AD＝BE，

∴AE＝AD，

∵AD∥BC，

∴∠7＝∠ACB＝45°，

∵∠6＝45°，

∴∠6＝∠7，

又∵AD＝AE，

∴AM⊥DE，且EM＝DM，

即AC是線(xiàn)段ED的垂直平分線(xiàn)；

（3）△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．

理由如下：

∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，

∴CD＝BD．

∴△DBC是等腰三角形．