Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2x+12的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點．過點A的直線交y軸正半軸于點C，且點C為線段OB的中點．
（1）求直線AC的表達(dá)式；
（2）如果四邊形ACPB是平行四邊形，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)y=2x+12的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點．
∴A（-6，0），B（0，12）．
∵點C為線段OB的中點．∴C（0，6）．
設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b．
∴，
解得：，
故直線AC的表達(dá)式為y=x+6．

（2）解法一：∵四邊形ACPB是平行四邊形．
∴PC=AB且PC∥AB，PB=AC且PB∥AC．
如圖1，過點P作y軸的垂線，垂足為Q．
可證得△PQB≌△AOC．
∴PQ=AO=6，BQ=CO=6．
∴QO=QB+OB=18．
∴P（6，18）．
解法二：如圖2，∵四邊形ACPB是平行四邊形．
∴PC∥AB．
∵C（0，6）．
∴直線CP的解析式為y=2x+6．
設(shè)點P（x，2x+6）．
由，可得x=±6（負(fù)值舍去）．
∴P（6，18）．
分析：（1）根據(jù)直線AB的解析式求得點A、B的坐標(biāo)，然后由已知條件“點C為線段OB的中點”求得點C的坐標(biāo)；最后，利用待定系數(shù)法求直線AC的關(guān)系式；
（2）解法一：如圖1，作輔助線PQ構(gòu)建全等三角形△PQB≌△AOC，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等、線段間的和差關(guān)系推知PQ、OQ的長度，即點P的坐標(biāo)；
解法二：如圖2，根據(jù)平行四邊形的對邊相互平行的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求得直線PC的方程y=2x+6，故設(shè)點P（x，2x+6）．然后兩點間的距離公式列出關(guān)于x的方程，通過解方程即可求得x的值．
點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．解答（2）題時，注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．